¿Cómo resuelves$[x]+[2x]+[3x]=4x$ en$\Bbb R$?

Question

Encontrar la media aritmética de todas las soluciones $x\in\Bbb R$ de la ecuación $$[x]+[2x]+[3x]=4x,$$ donde $[x]$ denota la parte entera de la $x$ (por ejemplo, $[2.5]=2$, $[-2.5]=-3$).

He probado la solución de este problema buscando en $\{x\}$ y la escritura, por ejemplo, $[2x]$ como $2[x]$ cuando $\{x\}<1/2$ e $2[x]+1$ cuando $\{x\}\ge1/2$. Esto nos lleva a una gran cantidad de casos y después de media hora que, literalmente, no podía seguir por más tiempo. Yo estaba pensando que tal vez de alguna manera se puede encontrar la media aritmética, sin conocer realmente las soluciones, pero no podía encontrar una manera de hacer eso. Cualquier ayuda se agradece. :)

Gracias!

Answer 1

Como @Jakobian sugiere tenemos que $$6x-3\lt \lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 3x\rfloor\le6x$$ Por lo tanto cualquier solución requeriría que $$6x-3\lt4x\le6x$$ $$2x-3\lt0\le2x$$ $$x-\frac32\lt0\le x$$ $$0\le x\lt\frac32$$ $$0\le 4x\lt6$$ También, las únicas soluciones válidas $x$ son tales que $4x=\lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 3x\rfloor\in\mathbb{Z}$. Con la anterior gama, esto significa que las únicas soluciones posibles son si $4x=0,1,2,3,4,5$ o $x=0,\frac14,\frac12,\frac34,1,\frac54$ respectivamente. Podemos probar cada caso por separado dando las únicas soluciones $$x=0,\frac12,\frac34$$ Por lo tanto la media aritmética de las soluciones es $$\overline{x}=\frac{0+\frac12+\frac34}3=\frac5{12}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $4x \in \mathbb Z$ y, por tanto, $x= k +\frac{r}{4}$ para algunos $k \in \mathbb Z$ e $r \in \{ 0,1,2,3\}$.

Entonces, la ecuación se convierte en $$4k+r= k+[2k+\frac{r}{2}]+[3k+\frac{3r}{4}]=6k+[\frac{r}{2}]+[\frac{3r}{4}]$$ que es equivalente a $$r=2k+[\frac{r}{2}]+[\frac{3r}{4}].$$

Ahora, acaba de resolver esto para cada una de las $r \in \{ 0,1,2,3\}$:

• si $r=0$ luego $$0=2k \Rightarrow x=0$$
• si $r=1$ luego $$1=2k \Rightarrow \mbox{ no solution}$$
• si $r=2$ luego $$2=2k+1+1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$
• si $r=3$ luego $$3=2k+1+2 \Rightarrow x=\frac{3}{4}$$

Answer 3

Si $x=I+f$ donde $0\le f<1$ e $I$ es un número entero

Si $3f<1,$

$$4I+4f=I+2I+3I\implies2I=4f, 0\le I<\dfrac23\implies I=0,f=?$$

Si $1\le3f<2$ e $2f<1$

$$4I+4f=I+2I+3I+1\iff4f=2I+1\implies\dfrac43\le2I+1<2$$ no integer value available for $I$

Si $1\le2f$ e $1\le3f<2$

$$4I+4f=6I+2,2f=I+1\implies 1\le I+1<\dfrac43,I=0,2f=1$$

Compruebe si $2\le3f<3$

Answer 4

Respuesta fácil:

$[x] + [2x] + [3x] = 4x$ medio $4x$ es un número entero y tenemos cuatro casos:

$x = m$.

$x = m + \frac 14$.

$x = m + \frac 12$

$x = m + \frac 34$

Donde $m= [x]$.

Si $x = m$ entonces $2x = 2m$ e $3x =3m$ y

$[m] + [2m] +[3m] = m + 2m + 3m = 6m =4m$. Por lo $m=x= 0$.

Si $x = m + \frac 14$ luego

$x = m + \frac 14$ e $2x = 2m + \frac 12$ e $3x = 3m + \frac 34$.

Por lo $[m+\frac 14] + [2m + \frac 12] + [3m + \frac 34] = m + 2m + 3m = 6m = 4(m + \frac 14) = 4m + 1$ lo $2m = 1$ e $m = \frac 12$. Ninguna solución.

si $x = m + \frac 12$ luego

$x =m+\frac 12$ e $2x = 2m + 1$ nad $3x = 3m + \frac 32$ así

$[m] + [2m + 1] + [3m + \frac 32] = m + 2m + 1 + 3m + 1 = 6m + 2 = 4(m+\frac 12) = 4m + 2$.

Por lo $6m = 4m$ lo $m =0$ e $x = m + \frac 12 = \frac 12$.

Si $x = m + \frac 34$ luego

$x = m + \frac 34$ e $2x = 2m + \frac 32$ e $3x = 3m + \frac 94$.

Por lo $[m + \frac 34] + [2m + \frac 32] + [3m + \frac 94] = m + 2m + 1 + 3m + 2 = 6m + 3 = 4(m +\frac 34) = 4m + 3$.

Así que de nuevo $m = 0$ e $x = m +\frac 34 = \frac 34$.

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Difícil respuesta:

Nota: no hay una única $\{x\}; 0 \le \{x\} < 1$ e $x = [x]+\{x\}$.

Si $\{x\} < \frac 13$ entonces $2[x] < 2x=2[x]+2\{x\} < 2[x] + 1$ lo $[2x] = 2[x]$.

Y $3[x] < 3x = 3[x]+3\{x\} <3[x]+1$ lo $[3x]=3[x]$.

Por lo $[x]+[2x]+ [3x] = 6[x] = 4x = 4[x] + 4\{x\}$ significa

$[x] =\frac 23 \{x\}$. Pero $0 \le \frac 23\{x\} < \frac 23$ e $[x]$ es un número entero por lo $[x] =\frac 23\{x\} = 0$ e $x = [x]+\{x\} = 0$.

Solución 1: $x = 0$ e $[0]+[0]+[0] = 4*0$.

Si $\frac 13 \{x\} < \frac 12$luego $2[x] < 2x=2[x]+2\{x\} < 2[x] + 1$ lo $[2x] = 2[x]$.

$[x] + \frac 13 \le [x]+\{x\} =x < [x] + \frac 12$

$3[x]+1 \le 3x < 3[x] + 1\frac 12$ lo $[3x] = 3[x]+1$.

Por lo $[x]+[2x]+ [3x] = 6[x]+1 = 4x = 4[x] + 4\{x\}$ significa

$[x] = 2\{x\} - \frac 12$.

Pero $-\frac 12 \le 2\{x\}-\frac 12 = [x] < 12$ lo $[x] =0$. Y $\{x\} = \frac 14$. Pero $\{x\} \ge \frac 13$ así que no hay solución.

Si $\frac 12 \le \{x\}< \frac 23$ luego

$[x] + \frac 12 \le [x] + \{x\} = x < [x]+\frac 23$ e $2[x]+1 \le 2x < 2[x] + 1\frac 13$ lo $[2x]= 2[x]1$.

$[x]+\frac 13 < [x]+\{x\} = x < [x] + \frac 23$ lo $3[x]+1 < 3x < 3[x]+2$ lo $[3x]=3[x]+14.

Por lo $[x]+[2x]+[3x] = 6[x] + 2 = 4x = 4[x] + 4\{x\}$ significa

$[x] = 2\{x\} - 1$. Ahora $0 =2*\frac 12 - 1\le 2\{x\}-1 = [x] < 2*\frac 23 -1 = \frac 13$ lo $[x] = 0$. y $\{x\} = \frac 12$. Por lo $x = [x] + \{x\} = \frac 12$.

Solución 2: $x = \frac 12$ e $[\frac 12] + [1] + [1\frac 12] = 0 +1 + 1=2 = 4*\frac 12$.

Por último, si $\frac 23 \le \{x\} < 1$ luego

$[x]+\frac 12 < [x]+\{x\} = x < [x] + 1$ lo $2[x] + 1 < 2x < 2[x]+2$ lo $[2x] = 2[x]+1$.

$[x] + \frac 23 \le [x]+\{x\} =x < [x] + 1$ lo $3[x]+1 \le 3x < 3x + 1$ lo $[3x] = 3[x] + 2$.

Por lo $[x]+[2x] + [3x] = 6[x] + 3 = 4x = 4[x] +4\{x\}$ así

$[x] = 2\{x\} -\frac 32$.

Por lo $-\frac 16 = 2*\frac 23 - \frac 32 < 2\{x\} -\frac 32=[x] < 2*1-\frac 32 = \frac 12$ lo $[x] =0$. Y $\{x\} = \frac 34$ e $x = \frac 34$.

Solución 3: $x = \frac 34$ e $[\frac 34] + [ 1\frac 12] + [ 2\frac 14] = 0 + 1 + 2 = 3 = 4*\frac 34$.