Para% positivo$a$,$b$,$c$ con$a+b+c=1$, muestre que$(ab+bc+ca) \sum_{cyc}\frac{a}{b^2+b} \geq \frac34$

Question

Si $a,b,c > 0$ y $a+b+c = 1$ , entonces demuestre que $$\left(\frac{a}{b^2+b}+\frac{b}{c^2+c}+\frac{c}{a^2+a}\right)(ab+bc+ca)\geq\frac{3}{4}$ $

¡Han pasado más de 35 años desde la última vez que toqué el álgebra!

Answer 1

Pista: Usando la desigualdad generalizada de Holder
PS

Ahora es suficiente mostrar $$\sum_{cyc}ab \cdot \sum_{cyc} \frac{a}{b^2+b}\cdot \sum_{cyc} a(b+1) \geqslant \left(\sum_{cyc}a\right)^3=1$, lo cual es fácil.