1025º término de la secuencia$ 1,2,2,4,4,4,4,8,8,8,8,8,8,8,8, ... $

Question

Considere la siguiente secuencia - $$ 1,2,2,4,4,4,4,8,8,8,8,8,8,8,8, ... $$

En esta secuencia, ¿cuál será el $ 1025^{th}\, term $

Así, cuando escribimos la secuencia y, a continuación, escriba el valor de $ n $ (Aquí, $n$ es el número de la siguiente término) por encima de ella podemos observar el siguiente -

---

1 - 1

2 - 2

3 - 2

4 - 4

5 - 4

. . .

8 - 8

9 - 8

. . .

---

Podemos notar que la $ 4^{th}$ plazo es de 4 y de igual manera, el $ 8^{th}$ plazo es de 8. Por lo que el $ 1025^{th}$ plazo debe ser de 1024 como $ 1024^{th} $ plazo se inicia con 1024.

Por lo que el valor de $ 1025^{th}$ plazo es $ 2^{10} $ .

¿Hay algún otro método para resolver esta cuestión?

Answer 1

En binario, el término indiza.

PS

volverse

PS

Así que para cualquier índice, borre todos los bits menos el más significativo.

$$1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111,\cdots$ $

Answer 2

Una forma más profunda de escribir lo mismo es decir que el término $n^{th}$ es $2^{\lfloor \log_2 n\rfloor}$ , y luego evaluar eso en $n=1025$ . La base $2$ log de $1025$ es ligeramente mayor que $10$ , por lo que el término es $2^{10}=1024$ .

Answer 3

El número $n$ primero aparece en la secuencia en la posición $n$ hasta la posición $2n-1$ . Entonces, el número $1024$ aparece en la secuencia en la posición $1024$ hasta que $2047$ . Por lo tanto, el número será $1024$ .

Answer 4

El primer término es $2^0=1$; la próxima $2^1=2$ términos son iguales a $2^1=2$; la próxima $2^2=4$ términos son iguales a $4$ y así sucesivamente. Desde $$ 2^0+2^1+2^2+\puntos+2^n=2^{n+1}-1 $$ el término en lugar de $1023$ es $512$. La próxima $2^{10}$ términos son iguales a $1024$.

Answer 5

La secuencia dada es equivalente a

$$ 1 + 2(2) + 4(2^{2}) + 8(2^{3}) + 16(2^{4}) + \ldots $$

$$ = 1 + (2^{2})^{1} + (2^{2})^{2} + (2^{3})^{3} + \ldots + (2^{2})^{k-1} + \ldots $$

Ahora, ya que esto es una serie geométrica, podemos resolver

$$ s_{k} = \frac{a(1 - r^{k})}{1-r} = \frac{1(1-4^{k})}{1-4} = 1025 $$

que puede ser fácilmente demostrado dar $ 5 < k < 6$.

Por lo tanto, el entero $k$ buscamos es $5$; y así, el $1025th$ término de la secuencia es $4^{k} = 4^{5} = 1024.$