¿Para qué sirve el bordismo?

Question

Estoy haciendo un curso de topología algebraica, y recientemente hemos definido el bordismo de la siguiente manera:

Dejemos que $M_1,M_2$ sean variedades orientadas n-dimensionales conectadas, $f_i:M_i\rightarrow X$ sean mapas continuos. $(M_1,f_1) $ y $ (M_2,f_2)$ son bordes (orientados) si existe una variedad compacta orientada de (n+1) dimensiones $N$ s.t. $\partial N = M_1 \sqcup \bar M_2$ y un mapa continuo $F:N\rightarrow X$ s.t. se limita a $f_{1}$ y $f_2$ en las partes respectivas de la frontera.

Hemos utilizado esta definición para construir el grupo abeliano $\Omega _n(X)$ de las clases de bordismo (siendo la suma inducida por la unión disjunta) y construir un mapa $T_X : \Omega_n(X)\rightarrow H_n(X)$ definido por $[(M,F)]\mapsto f_*[M]$ , donde $f_*$ es el pushforward en homología y $[M]$ es la clase fundamental de M.

No hemos hecho mucho más en clase (y no estamos siguiendo ningún libro), así que me preguntaba para qué podría servir esto. En primer lugar: ¿cómo es el mapa $T_X$ ¿útil? Me parece que la única razón por la que requerimos que nuestras variedades sean orientables y compactas es para tener una clase fundamental, de modo que podamos definir este mapa, por lo que debe ser importante.

La segunda pregunta sería: ¿para qué sirve el bordismo? ¿Qué puedo hacer con él?

Gracias.

Answer 1

Permítame responder a su pregunta con otra pregunta:

¿Para qué sirve cualquier invariante (por ejemplo, la homología?)?

Me gusta mucho el bordismo, porque para mí es un invariante muy geométrico y lo intuyo. Los ciclos singulares son muy difíciles de visualizar en general.

¿Has dibujado alguna vez ciclos explícitos que representen clases de homología en superficies? Te animo a que lo hagas para $H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)$ . Demuestre también que la "cintura" de una superficie de género dos es nula-homóloga.

Entonces se puede encontrar que cualquier clase puede ser representada por alguna unión de círculos triangulados: es decir, cualquier clase se encuentra en la imagen de $T_X$ : Los ciclos están representados por $1$ de los colectores dimensionales. Esto es mucho más bonito que cualquier ciclo singular. De hecho, los primeros intentos de definir la homología fueron definiendo bordismos.

Una pregunta natural es entonces si esto es siempre posible: ¿Puede cualquier ciclo singular ser representado por un colector singular (es decir, un mapa de un colector a su espacio)? Este es el problema de Steenrod. La respuesta es no para $H_*(X;\mathbb Z)$ pero es cierto para $H_*(X;\mathbb{Z}_2)$ donde hay que utilizar el bordismo no orientado para definir el mapa. Esto fue demostrado por Thom.

Pero Thom hizo mucho más. Mientras que la homología de un punto es simple: $H_*(\mathrm{pt};\mathbb{Z}_2)=\mathbb Z_2$ el grupo de bordismo no orientado $\mathcal{N}_*(\mathrm{pt})$ es mucho más complicado: Hay muchas variedades que no son el límite de una variedad de mayor dimensión. Un ejemplo es $\mathbb{RP}^2$ pero no quiero demostrarlo aquí. De todos modos: Thom consiguió calcular completamente el anillo de cobordismo no orientado, demostrando que es igual a un determinado grupo de homotopía. Sus técnicas también pueden extenderse para calcular muchos otros anillos de cobordismo. Me parece una de las historias más bellas de las matemáticas.

Por último, quiero señalar que los grupos de cobordismo aparecen naturalmente en otros problemas. He aquí un pequeño ejemplo: Tomemos un mapa suave $f:M\rightarrow N$ entre variedades cerradas finitas. El teorema de Sard dice que siempre hay muchos valores regulares. La preimagen $X=f^{-1}(x)$ es entonces un submanifiesto cerrado de $M$ . Mientras que este submanifold $X$ depende del valor regular elegido, su clase de cobordismo no. Y tampoco depende de la clase de homotopía de $f$ . Así que hay un mapa natural $$ [M,N]\rightarrow \mathcal{N}_*(M) $$ tomando la preimagen de un valor regular. Para utilizar este invariante, es mejor poder calcular (parte de) el lado derecho. Desde el trabajo de Thom, entendemos cómo esto se relaciona con la homología de $M$ . Se puede llevar esta idea mucho más lejos.