Problema de geometría sobre dos círculos externos que tocan.

Question

Dos círculos de radio 12 y 3 toque externamente. Una línea de intersección de ambos se cruza primer círculo en los puntos de $P$ e $Q$, el segundo círculo - en puntos de $R$ e $S$. Tres resultante de los segmentos de línea, dos en el interior de los círculos y entre ellos, son iguales: $PQ=QR=RS$. Encontrar su misma longitud.

He preparado una imagen con Geogebra para ilustrar

Yo estaba tratando de resolver esto sin suerte.

Después de la formulación de un sistema de ecuaciones basadas en coordenadas con el origen de ser círculos' punto común y $X$-eje de la línea que une sus centros, Wolfram Alpha me ayudó a encontrar que la respuesta debe ser $3\sqrt{13}/2$.

Se puede dar pistas sobre cómo resolver esto?

Answer 1

Deje $PQ=QR=RS=2x$, $AM$ e $O_2N$ ser perpendiculares a $PS$

y $O_2K$ ser una perpendicular a $AM$.

Así, desde $$KO_2=MN=x+2x+x=4x,$$ $$AK=\sqrt{12^2-x^2}-\sqrt{3^2-x^2}$$ and $$AO_2=12+3=15,$$ by the Pythagoras's theorem for $\Delta AO_2K$ obtenemos: $$(4x)^2+\left(\sqrt{12^2-x^2}-\sqrt{3^2-x^2}\right)^2=15^2.$$ Puede usted terminar ahora?

Llegué $PQ=QR=RS=\frac{3\sqrt{13}}{2}.$

Answer 2

Deje $PQ=QR=RS=2\ell$.

Colocar una perpendicular desde el centro de la $A$ sobre acordes $PQ$, dejar que el punto de ser $J$. Del mismo modo soltar una perpendicular desde el centro de la $O_2$ sobre acordes $RS$ y llamar a $K$.

Considerar el derecho $\triangle AJP$, tenemos $$AJ=\sqrt{144-\ell^2}.$$ Asimismo en derecho $\triangle O_2KR$, tenemos $$O_2K=\sqrt{9-\ell^2}.$$ Ahora dibuje la línea de $O_2T$ , la cual es paralela a $JK$ (mismo que decir paralelo a la línea de intersección de los dos círculos). A continuación, $O_2KJT$ forma un rectángulo. Ahora $$AT=AJ-TJ=AJ-O_2K=\sqrt{144-\ell^2}-\sqrt{9-\ell^2}.$$ Considerar el derecho $\triangle ATO_2$. Observar que $AO_2=12+3=15$ e $O_2T=JQ+QR+RK=4\ell$. Así $$AT^2+O_2T^2=AO_2^2 \implies \left[\sqrt{144-\ell^2}-\sqrt{9-\ell^2}\right]^2+(4\ell)^2=15^2.$$ Así que tenemos que resolver para $\ell$.

Una vez que simplificar esta ecuación apropiada cuadratura etc. usted termina encima de conseguir $$\ell^2(48\ell^2-351)=0.$$ Esto implica $\ell^2=\frac{117}{16}$. En consecuencia, $$\color{red}{2\ell=\frac{3\sqrt{13}}{2}}.$$