¿Cuál es la noción correcta de equivalencia en una categoría doble?

Question

¿Cuál es el apropiado de la noción de equivalencia entre dos objetos en una doble categoría?

---

Al principio pensé que la respuesta era sólo una equivalencia en uno de los asociados $2$-categorías, pero luego me di cuenta de que los objetos pueden ser equivalentes en el horizontal $2$-categoría sin equivalente en la vertical de la $2$-categoría, o vice-versa. Por ejemplo, usted puede escribir una doble categoría, que es un conjunto discreto verticalmente y el terminal en horizontal.

Así que supongo que la definición correcta requiere de equivalencias de forma horizontal y vertical y, a continuación, algunos cuadros relacionados con ellos. Pero no puedo ver la correcta requisitos para las plazas.

Answer 1

Creo que no hay una correcta noción. Una doble categoría es un par de la interacción de 2 categorías, más que una generalización de un solo de 2 categoría.

Por ejemplo, en la doble categoría de categorías, functors, y profunctors, que es incluso un proarrow equipo, una vertical de equivalencia es una corriente de equivalencia de categorías, mientras que una horizontal de equivalencia es una de equivalencia de Morita, en este caso una equivalencia a la división de idempotents. Las nociones son distintas y por separado importante, y es complicado ver internamente cuando horizontal equivalencia da lugar a una vertical.