¿Puedo obtener una secuencia de funciones acotadas que converjan puntualmente a$f(x)=1/x$ para$x$ no cero y$0$ para$x$ cero?

Question

¿Cómo construyo una secuencia explícita de funciones acotadas que convergen en el sentido de las agujas del reloj a $f(x)=1/x$ para no cero $x$ y $f(0)=0$ . Sería mejor si alguien pudiera encontrar un continuo y aún mejor si alguien le diera una secuencia de funciones diferenciable en $\Bbb R$ que converge a $f$ de manera puntual.

Answer 1

Las funciones $$ f_n(x) = \frac{nx}{1+nx^2} $$ son (infinitamente a menudo) diferenciable en $\Bbb R$. Cada una de las $f_n$ son los siguientes: $$ |f_n(x)| = \frac{\sqrt{nx^2}}{1+nx^2} \sqrt n \le \frac 12 \sqrt n \, , $$ y $f_n(x) \to f(x)$ pointwise para todos los $x$.

Gráfico de $f_5, f_{10}, f_{40}$ junto con la gráfica de $1/x$:

Answer 2

Qué tal: $$ f_n (x) = \begin{cases} 1/x, & \mbox{if } x>\frac{1}{n} \\ n^2\cdot x, & \mbox{if } 0\leq n\leq \frac{1}{n}\end {casos} $$ Esto es continuo, aunque no es diferenciable, pero puede tener una idea de cómo hacerlo (Lo que hice es simplemente unir el punto $(\frac{1}{n},n)$ con $(0,0)$ de manera continua, seguro que puede lograr una forma diferenciable e incluso $\mathcal{C}^{\infty}$ )