Distribución de probabilidad de la distancia tras $n$ saltos aleatorios en un avión

Question

Quiero saber si hay una forma analítica de aproximar la distribución de una variable aleatoria definida por

$$Y_n:=\left|\sum_{k=1}^n e^{i X_k}\right|$$

donde el $X_k\sim U[-\pi,\pi]$ son i.i.d. Hice algunas simulaciones por ordenador, sin embargo estoy tratando de ver si hay alguna maquinaria analítica para, al menos, aproximar la distribución de $Y_n$ .

Sé escribir de forma analítica $E[Y_n]$ para $n$ (de hecho tengo la estimación $E[Y_n]\le\sqrt n$ a través de la desigualdad de Jensen porque $E[Y_n^2]=n$ ), y podría escribir explícitamente $F_{Y_2}$ Sin embargo, para $n>2$ No sé cómo proceder (o cómo aproximarse).

También sé cómo escribir explícitamente las integrales iteradas para el cálculo de la distribución de $\sum_{k=1}^n e^{i X_k}$ Sin embargo, no conozco ningún método para calcular la distribución de su valor absoluto.

Se agradecerá alguna ayuda o, si alguien sabe, algún artículo o libro donde indagar sobre cuestiones similares.

---

EDIT: también hay que tener en cuenta que $Y_n=|Y_{n-1}+e^{i X_n}|$ por lo que parece posible aproximar la distribución de $Y_n$ utilizando algún tipo de recursión.

También es fácil comprobar que

$$Y_n=\sqrt{n+2\sum_{1\le j< k\le n}\cos(X_j-X_k)}$$

Sin embargo esta última expresión a primera vista no parece útil para una distribución analítica (aproximación) a la misma.

---

EDIT 2: añadiendo algunos histogramas que aproximan las densidades

Para $n\le 5$ las densidades estimadas son extrañas (no tienen forma de campana), sin embargo para $n=2$ la densidad se acerca a la densidad teórica, es decir

$$f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x)$$

(Obsérvese la asíntota vertical en $x=2$ en $f_{Y_2}$ . De todos modos la aproximación empírica tiende a ello). Si alguien está interesado este era el código, escrito en Julia, que había utilizado para las simulaciones:

# Sum of random jumps in the plane
function rsum(n::Int)
    p = 1.0
    for j in 2:n
        p += exp(2pi * im * rand())
    end
    return p
end

# Distance after n random jumps
function rd(n::Int)
    abs(rsum(n))
end

 # Data array to build an histogram
 function sim(n::Int, m::Int = 22)
    datos = zeros(2^m)
    for i in 1:2^m
        datos[i] = rd(n)
    end
    return datos
 end

# Plotting densities
using StatsPlots, Statistics
function dd(n::Int,m::Int=22)
    x = sim(n,m)
    density!(x, w = 2,
        xlabel = "Distance",
        label = "Estimated density for $n jumps",
        fill = (0, 0.1, :orange))
    vline!([mean(x)],
        label = "Estimated mean for $n jumps: $(round(mean(x),digits=2))",
        line = :dash)
end

Answer 1

Como vamos a trabajar con partes reales e imaginarias, es conveniente considerarlas como componentes de un vector: $$ V_k = [\cos(X_k), \sin(X_k)] $$ Tenga en cuenta que estos tienen una media $0$ y la matriz de covarianza $$ \Sigma = \pmatrix{1/2 & 0\cr 0 & 1/2\cr}$$ Por el versión multivariante del Teorema Central del Límite , si $S_n = \sum_{k=1}^n V_k$ , $ S_n/\sqrt{n} $ tiende en su distribución a una normal bivariada con media $0$ y la matriz de covarianza $\Sigma$ . En particular, la distribución de $|S_n|/\sqrt{n}$ se acerca a la de $\sqrt{(Z_1^2 + Z_2^2)/2}$ donde $Z_1$ y $Z_2$ son variables aleatorias normales independientes. Se puede demostrar (mediante el uso de coordenadas polares) que esto tiene PDF $2 r e^{-r^2}$ para $r > 0$ .