¿Existe una fórmula general para$\sum_{r=1}^{n}r^k$ de prueba?

Question

Yo sé que estos son algunos de los actuales sumas que son verdaderas: $$\sum_{r=1}^{n}r = \frac{n(n+1)}{2} = \mathcal{O}(n^2)$$ $$\sum_{r=1}^{n}r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \mathcal{O}(n^3)$$ $$\sum_{r=1}^{n}r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \mathcal{O}(n^4)$$

Se me puede matar la definición de Big O' la Notación, pero creo que describe la forma de la función, es decir, el más alto poder de $n$ en estos casos. Hay una prueba para: $$\sum_{r=1}^{n}r^k = \mathcal{O}(n^{k+1})$$ puesto que no parece ser este patrón?

O mejor aún, hay un general de las fórmulas que los espejos $$\sum_{r=1}^{n}r^k$$ in terms of only $n$ and $k$?

Yo no sé cómo la frase de la pregunta muy bien en Google, así que te pido disculpas si esta pregunta se ha contestado muchas veces.

Answer 1

La fórmula general para una suma de $k^{th}$ poderes de los primeros $n$ enteros es la fórmula de Faulhaber :

$$\sum_{r=1}^n r^k=\dfrac {n^{k+1}}{k+1}+\dfrac12n^k+\sum_{r=2}^k\dfrac {B_r}{r!}\dfrac {k!}{(k-r+1)!}n^{k-r+1},$$ where $ B_r$ is the $ r ^ {th}$ Bernoulli number. This is indeed a polynomial of degree $ k +1 $ .

Answer 2

La desigualdad de Jensen implica $$\sum_{r=1}^{n} r^k \ge n \left(\frac{\sum_{r=1}^{n} i}{n}\right)^k = n\left(\frac{n+1}{2}\right)^{k}.$ $ por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^k}\sum_{r=1}^{n} r^k = \infty.$ $ también, $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{k+1}}\sum_{r=1}^{n} r^k < \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{k+1}}\sum_{r=1}^{n} n^k=1.$ $

En consecuencia, $$\sum_{r=1}^{n} r^k = \mathcal{O}(n^{k+1}).$ $

Answer 3

Puede obtener una serie en términos de potencias de $n$ .

Para el primer término, tenga en cuenta que $$\frac 1 n \sum_{r=1}^n \frac {r^k}{n^k}$$ is a Riemann sum that converges towards $$\int_0^1 x^kdx=\frac 1 {k+1}$ $ por lo tanto, $$\sum_{r=1}^n r^k \sim \frac{n^{k+1}}{k+1}$ $

Incluso puede obtener más términos en la expansión, e incluyen números de Bernoulli.

Answer 4

Sí que la hay, de acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Applications_of_the_Bernoulli_numbers $$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^m= \frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!} $$ donde, $B_k^+$ son los números de bernouilli

$ B^+_m = \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{(v + 1)^m}{k + 1}$ que le da una fórmula explícita

Answer 5

Sí, hay fórmulas que se pueden demostrar por inducción.

Se ha demostrado que el resultado es un polinomio en $n$.

El cómputo de la primera $10$ sumas de los resultados en la siguiente.

$$\sum_{k=1}^nk = (n^2+n)/2$$

$$\sum_{k=1}^nk^2 = (2n^3+3n^2+n)/6$$

$$\sum_{k=1}^nk^3 = (n^4+2n^3+n^2)/4$$

$$\sum_{k=1}^nk^4 = (6n^5+15n^4+10n^3-n)/{30}$$

$$\sum_{k=1}^nk^5 = (2n^6+6n^5+5n^4-n^2)/{12}$$

$$\sum_{k=1}^nk^6 = (6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n)/{42}$$

$$\sum_{k=1}^nk^7 = (3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2)/{24}$$

$$\sum_{k=1}^nk^8 = (10n^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n)/{90}$$

$$\sum_{k=1}^nk^9 = (2n^{10}+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2)/{20}$$

$$\sum_{k=1}^n k^{10} = (6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n)/{66}$$