Probando que$\lVert u \rVert_{L^2} \leq Ce^{-\nu t}$ para cierto pde

Question

Dado que $$\frac{\partial u}{\partial t}+\sin(y)\frac{\partial u}{\partial x}=\nu\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)$$ Con los siguientes periódicos de las condiciones de contorno: $$u(-\pi,y,t)=u(\pi,y,t) \\ u(x,-\pi,t)=u(x,\pi,t) \\u_x(-\pi,y,t)=u_x(\pi,y,t)\\ u_y(x,-\pi,t)=u_y(x,\pi,t)\\ u(x,y,0)=F(x,y)$$ Demostrar que $$\lVert u \rVert_{L^2} \leq Ce^{-\nu t}$$

He utilizado el finita de Fourier para conseguir que $$\frac{du_{mn}}{dt}=-\nu (n^2+m^2)u_{mn} -\int_{-\pi}^{\pi}\sin(y) u_ne^{-imy}dy$$

Donde $$u_{mn}=\int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(x,y,t)e^{-imx} *e^{-iny} dxdy$$

Segundo traté de Energía método de Multiplicar por u y, a continuación, integrar, todavía no he tenido el resultado deseado.

Cómo obtener el resultado deseado ? Cualquier Sugerencia ?

Answer 1

Tenemos $$\frac{\partial u}{\partial t}+\sin(y)\frac{\partial u}{\partial x}=\nu\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr) \ \ *$$

Multiplicando * con u y la integración de $$\int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u \frac{\partial u}{\partial t} dx\ dy+ \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u \sin(y)\frac{\partial u}{\partial x} dx \ dy=\int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\nu u \Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)dx \ dy $$

Ahora la integración por partes y usando las condiciones de contorno, se obtiene : $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u^2 \ dx \ dy =-\int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\frac{\partial u}{\partial x})^2 +(\frac{\partial u}{\partial y})^2 dx \ dy$$

O, Equivalentemente, $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\lVert u \rVert_{L^2}^2 =-\int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\nabla u|^2 dx \ dy$$

Ahora, utilizando la desigualdad de Poincaré llegamos $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\lVert u \rVert_{L^2}^2 \leq -\nu C \lVert u \rVert_{L^2}^2$$

Ahora Vamos A $z=e^{2 \nu Ct} \lVert u \rVert_{L^2}^2$ Lo que implica que $$\frac{dz}{dt} \leq 0$$ Por lo $z(t) \leq z(0)$

Por lo tanto el resultado de la $$\lVert u \rVert_{L^2}^2 \leq C_1 e^{- \nu C t}$$