¿Es$\mathcal G_t = \sigma(\int_{0}^{s} W_s \,du:s\leq t)$ una filtración continua?

Question

Como dice la pregunta:

Es $$\mathcal G_t = \sigma\left(\int_{0}^{s} W_s \,du:s\leq t\right)$ $

donde $W_s$ es el movimiento browniano, ¿una filtración de derecha continua?

Creo que la respuesta es no, como $\mathcal G_t \neq \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal G_{t+\frac{1}{n}}$ ; es posible obtener más información de forma infinita en el futuro.

¿Mi entendimiento es correcto?

¡Gracias!

Answer 1

$\mathcal{G}_t=\sigma\left(\int_{0}^{s} W_u \,du:s\leq t\right)=\sigma\left(Y_s:s\leq t\right)$ es de derecha continua a menos que confunde bajo las condiciones habituales de $W$.

Primero observar que $\mathcal{F}_t = \sigma\left(W_s: s\leq t\right)$ es de derecha continua ... hipótesis y $W$ también debe ser continua.

Así que si podemos demostrar que $\forall t>0, \mathcal{G}_t=\mathcal{F}_t$ entonces $\mathcal{G}_{t^+}= \mathcal{F}_{t^+}$, y hemos terminado como $\mathcal{F}_{t^+}= \mathcal{F}_t$ a partir de las condiciones habituales.

Para ver este observar que para cada $\omega$ :

$$W_t(\omega)=Lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\int_{t-1/n}^{t}W_s(\omega)ds$$ por (Lebesgue teorema de la diferenciación).

Pero como cada término de esta secuencia es $\mathcal{G}_{t}$-medible, por lo que es la convergencia de límite y tenemos:

$$\mathcal{F}_t \subset \mathcal{G}_{t}$$

De la otra manera también es cierto que para cada $\omega$, $Y_t$ es en este caso el límite de una suma de Riemann como camino Browniano son continuas:

$$Y_t(\omega)=Lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}.W_{i.t/n}(\omega) $$

Y como cada término de la suma son en $\mathcal{F}_t$, por lo que es la suma y su convergencia límite y tenemos:

$$\mathcal{G}_t \subset \mathcal{F}_{t}$$

Q. E. D.

Comentario:

gracias por la respuesta. Sin embargo, ¿por qué es de $\mathcal F_t = \sigma(W_s : s > \leq t)$ derecho-continua? Yo estaba pensando en un contraejemplo como tal: el caso de A = $\{ \omega : W_t(\omega)\mathrm{\, ha \, un \, local \, > > máximo \, en \, tiempo \, t} \}$. However,$A \en \sigma(W_s : s \leq t > + \epsilon)$. Thus $\mathcal F_t = \sigma(W_s : s \leq t)$ es un derecho que no continuo.

Mi respuesta (demasiado largo para caber en el espacio de un comentario así que lo añado aquí con el comentario de arriba reproducido):

No he comprobado su ejemplo, pero es sabido que la "pura" movimiento Browniano (he.e construido sin el aumento de la filtración que hace es satisfacer las condiciones habituales) tiene su "natural" de la filtración de que no es correcto continuo, esto es un gran problema, porque para martingales a la derecha continua versión es necesario para las condiciones habituales para sostener y así nos necesitan la filtración a la derecha continua (véase, por ejemplo, Karatzas y Shreve "el Movimiento Browniano y el Cálculo Estocástico" - teorema 3.13 página 16 - 2ª edición).

También tenga en cuenta que la integridad es, de hecho, suficiente para las condiciones habituales a cabo por el Movimiento Browniano, como derecho de la continuidad, a continuación, ocasionados por la integridad de fuertes procesos de Markov (y el BM es fuerte de Markov) ver la misma referencia de la proposición 7.7 página 90 (Protter el libro tiene también una prueba con la propiedad de Markov (es decir, no fuerte de Markov), pero deben ser procesos de Lévy, aunque si recuerdo bien).

Así que esto es por qué es TAN IMPORTANTE tener condiciones habituales, porque ninguno quiere trabajar con martingales que no tienen derecho-continuo versiones, incluso me pregunto si sería posible construir stochasitc integral sin esta propiedad. Tal vez George Lowther podría lograr tal hazaña ;-)