¿Dónde aparece espontáneamente$\pi^2$ dentro del fenómeno físico y las ecuaciones matemáticas?

Question

El término $\pi$ se encuentra en muchas ecuaciones y fenómeno natural; sin embargo, mi pregunta está relacionada con la $\pi^2$.

Mientras que tratando de averiguar la razón de algunos $\pi^2$ términos que aparecen en ciertas igualdades que me encontré, tengo una pregunta. Y la pregunta es esta:

En el que todas las matemáticas/física ecuación o contextos no $\pi^2$ aparecen intrínsecamente?

-- y (ahora esta segunda parte es simplemente una pregunta de seguimiento que no forma parte de la consulta original, pero añadió más tarde), cuando el $\pi^2$ plazo puede prestar un poco de interpretación del fenómeno subyacente, como no $\pi$ cual podemos interpretar (en la mayoría de los casos es decir) de que algún tipo de circular la deambulación en 1 dimensión en que consiste??

Como se puede entender, la $\pi^2$ plazo es más complejo y no se presta a una interpretación (en lugar de a $\pi$ que es muy intuitivo.

Gracias

Answer 1

$$ g \approx \pi^2\,\mathrm{m/s^2} $$

La razón de esto la definición original del medidor: la longitud de un péndulo cuyo mitad del periodo es 1 segundo. Mucho como la definición original de la escala Celsius, esto permitió que una persona fácil de calibrar el equipo con materiales comunes. (Por supuesto, esta calibración es apenas lo suficientemente precisos para mediciones modernas, de manera que el medidor ha sido redefinido más de una vez para mantener el ritmo con los tiempos.) El $\pi^2$ entonces viene la aproximación de ángulo pequeño para el período de un péndulo: $$ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\;\; \Longrightarrow\;\; g = \pi^2 \frac{L}{(T/2)^2} $$

Answer 2

Un gran ejemplo en mi opinión es el problema de Basilea $$ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$ Un gran intuitiva y geométrica explicación se puede encontrar en este video, el cual, junto con todo el canal, no puedo recomendar lo suficiente.

También hay un conjunto de Intercambio de la Pila post dedicado a ello.

Answer 3

Usted puede obtener de forma arbitraria-de altas potencias de $\pi$ (aunque dividido por factoriales) utilizando involuciona:

• Un semicírculo de radio $1$ tiene una longitud de $\pi$.
• La evolvente de la semicírculo tiene una longitud de $\tfrac12\pi^2$
• La evolvente de que involuciona (emergentes desde el mismo punto) tiene una longitud de $\tfrac1{6}\pi^3$.
• La evolvente de que involuciona (emergentes desde el mismo punto) tiene una longitud de $\tfrac1{24}\pi^4$.
• La evolvente de que involuciona (emergentes desde el mismo punto) tiene una longitud de $\tfrac1{120}\pi^5$.
• ... y así sucesivamente ...

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Nota: La poligonal espiral formada por unirse a la involuciona " no común extremos ha de borde de longitudes iguales a los poderes de $\pi$. (El de la derecha el borde vertical tiene una longitud de $\pi$, la más alta borde horizontal tiene una longitud de $\tfrac12\pi^2$, etc.) El tiro en un segmento desde el semicírculo del extremo derecho de su centro, y tiene una arista de longitud $1 = \tfrac{1}{1}\pi^0$.

Nota: Que poligonal espiral converge en la involuciona' punto final común. La vuelta-y-vuelta-ción de los bordes horizontales implica que $$\tfrac11\pi^0 - \tfrac12\pi^2 + \tfrac1{24}\pi^4 - \cdots \;=\; -1$$ Asimismo, la para arriba-y-abajo-ción de los bordes verticales implica $$\tfrac11\pi^1 - \tfrac16\pi^3 + \tfrac1{120}\pi^5 - \cdots \;=\; 0$$ Por supuesto, estos valores son, respectivamente, $\cos\pi$ e $\sin\pi$. El de arriba es un caso especial de Chaikovsky de la Evolvente Molinete para la alimentación de la serie de seno y coseno.

Answer 4

Si estás buscando ejemplos de $\pi^2$ natural, usted debe buscar en algunas de las ecuaciones en derivadas parciales. La derivación de sus soluciones y las soluciones que conducen a las apariciones de $\pi^2$. Voy a dar algunos ejemplos, pero voy a mantener todo un poco floja para hacerla más digerible.

En primer lugar, tomar la ecuación del calor en una 1-D varilla de longitud $L$ sin que el calor en los extremos: $$\begin{cases} \partial_t u=\kappa\partial_x^2 u\\ u(x,0)=f(x)\\ u(0,t)=u(L,t)=0 \end{cases}$$ If you assume a solution of the form $u(x,t)=X(x)T(t),$ then you will arrive at two ODEs two solve: $$\frac{d^2X}{dx^2}=-\lambda X$$ and $$\frac{dT}{dt}=-\kappa\lambda T,$$ with $X(0)=0$ and $X(L)=0$. The former is an eigenvalue problem with given boundary data, and solving this eigenvalue problem gives you $\pi^2$ presence, as we find the eigenvalues to be $$\lambda_n=\left(\frac{n\pi }{L}\right)^2,$$ and $$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),$$ for $n=1,2,\cdots.$ Solving the $T$ equation gives you $$T(t)=ce^{-\kappa\lambda_n t},$$ and in the end, you get the solution $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty B_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\kappa\frac{n^2\pi^2}{L^2} t},$$ with $$B_n=\frac{2}{L}\int\limits_0^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\, dx.$$ This even has $\pi^2$ en la solución en sí misma.

Si nos fijamos en la ecuación de onda $$\partial_t^2u=c^2\partial_x^2 u,$$ instead, then you will still get the same eigenvalues and eigenfunctions (since they are all eigenvalues/functions of $\partial_x^2$). If we add in the additional initial condition $\partial_t u(x,0)=g(x),$ then we instead get the final solution $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(A_n\cos\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)+B_n\sin \left(\frac{n\pi ct}{L}\right)\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right), $$ where $A_n$ is the same and $$B_n=\frac{2}{n\pi c}\int\limits_0^Lg(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\, dx.$$ Aquí, los autovalores están relacionados con las frecuencias de las ondas, por lo que tienen una buena interpretación física.

Answer 5

(1) Deje que $\mu$ denote la función de Mobius:

PS

(2) Deje que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{2}} = \frac{6}{\pi^{2}}$ denote la suma de los divisores de $\sigma(n)$ :

PS

(3) Deje que $n$ denote el $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{n}\sigma(i)}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma(1) + \sigma(2) + \ldots + \sigma(n)}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{12} $ de Euler.

PS