¿Prueba de que cada campo es perfecto?

Question

El siguiente debe de estar equivocado, ya que muestra que cada campo es perfecto, que tengo entendido no es así. Pero no puedo encontrar el error:

Supongamos $E/K$ es una extensión de campo y $p\in K[x]$ es irreductible (en $K[x]$). A continuación, cada raíz de $p$ en $E$ es simple.

Prueba: Supongamos que OTOH que $\lambda\in E$ e $(x-\lambda)^2\mid p(x)$. A continuación, $(x-\lambda)\mid p'$, lo $\gcd_E(p,p')\ne1$. Pero el algoritmo de euclides demuestra que $\gcd_K(p,p')=\gcd_E(p,p')$, por lo tanto $p$ no es irreducible.

Answer 1

El problema es que usted puede tener $p'=0$, lo $\gcd(p,p')=p$, lo que no implica que el $p$ es reducible.

Para entender cómo esto puede suceder, supongo

• $q$ es primo.$\\[4pt]$
• $\text{char}(K)=q$.

y supongamos $c\in E$ es tal que $c^q\in K$, pero $c\not\in K$.

A continuación, dejando $p(x)=x^q-c^q$, obtenemos $p'(x)=0$.

Reclamación $p$ es irreducible en $K[x]$.

Para comprobar la irreductibilidad de $p$, supongamos $f\mid p$ en $K[x]$, donde $f$ es un monic polinomio de grado $n$, con $0 < n < q$.

Desde $f\mid p$ en $K[x]$, también tenemos $f\mid p$ en $E[x]$.

Desde $q$ es el primer y $\text{char}(K)=q$, tenemos la identidad $$x^q-c^q=(x-c)^q$$ por lo tanto, desde el $f$ es monic y $\text{deg}(f)=n$, se deduce que el $f=(x-c)^n$.

Por el teorema del binomio, el coeficiente de la $x^{n-1}$ plazo de $f$ es $-nc$.

Pero luego de $0 < n < q$ e $c\not\in K$, obtenemos $-nc\not\in K$, contrario a $f\in K[x]$.

Por lo tanto, $p$ es irreducible en $K[x]$, como se reivindica.

Para un ejemplo claro de un polinomio $p$, vamos a $t$ ser indeterminado, y vamos a

• $K=F_q(t^q)$.$\\[4pt]$
• $E=F_q(t)$.$\\[4pt]$
• $p(x)=x^q-t^q$.

Entonces tenemos

• $\text{char}(K)=q$.$\\[4pt]$
• $t\in E$.$\\[4pt]$
• $t^q\in K$, pero $t\not\in K$.

por lo tanto $p$ es irreducible en $K[x]$ e $p'=0$.