¿Es $$\phi(x):=\sum_{n=0}^\infty x^{2^n}$ $ una función especial conocida?
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metamorphy
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No una respuesta, sino sólo una nota en $x\to 1$ (siguiente [1] y [2] de cerca).
Básicamente, $\phi(x)=-\log_2(1-x)+O(1)$ con el "$O(1)$" oscilante: $$\psi(x)=\phi(x)+\frac{\ln(-\ln x)}{\ln 2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln x)^n}{n!(2^n-1)}$$ satisface $\psi(x)=\psi(x^2)$. El "Mellin transformar el enfoque de" da, en nuestro caso, $$\psi\big(e^{-2^{-x}}\big)=\frac{1}{2}-\frac{\gamma}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 2}\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\Gamma\Big(\frac{2n\pi i}{\ln 2}\Big)e^{2nx\pi i}.$$
Liedman
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Hay un par de papeles por Ahmed Sebbar donde se expresa esta función en términos de las más conocidas formas modulares. (a pesar de que las expresiones son bastante torpe). Hay una relación con paperfolding y con secuencias automáticas
En Dos Lacunary de la Serie Modular y Curvas
Paperfolding y modular las funciones de
Este artículo salió hace un par de días:
Automática de secuencias definidas por funciones Theta y algunos infinito productos por Li Shuo
La serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2^{n}}}$ es en algunos contextos se conoce como La Kempner número, y es conocido por ser trascendental:
En las Muchas Caras de La Kempner Número, Boris Adamczewski relaciona un par de pruebas de su transcendentality.
