¿Cómo sabemos que $x^2 + \frac{1}{x^2}$ es mayor o igual que $2$ ?

Question

Por un problema, se supone que lo sabíamos:

$$x^2 + \frac{1}{x^2}\geq 2.$$

¿Cómo se deduce esto instantáneamente al ver la expresión anterior?

Answer 1

Ya que has etiquetado esto con el precálculo, intentaremos lo siguiente. Empieza con la desigualdad $(x^2 - 1)^2 \geq 0$ . Entonces, \begin {align*} (x^2 - 1)^2 \geq 0 && \implies && x^4 - 2x^2 + 1 & \geq 0 \\ && \implies && x^4 + 1 & \geq 2x^2 \\ && \implies && \frac {x^4 + 1}{x^2} & \geq 2 & \text {para } x \neq 0 \\ && \implies && x^2 + \frac {1}{x^2} & \geq 2. \end {align*} Esta era la desigualdad que queríamos, excepto que tenemos que asegurarnos de excluir el caso $x = 0$ .

Answer 2

Si $x\neq 0$ entonces $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\ge0\iff x^2-2+\frac{1}{x^2}\ge 0 \iff x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$

Answer 3

(Este espacio se ha dejado intencionadamente en blanco).

Answer 4

Una forma es utilizar la desigualdad de la media aritmética-geométrica: $(A+B)/2\ge \sqrt{AB}$ para $A\ge 0, B\ge 0$ . Toma $A=x^2$ y $B=1/x^2$ .

Answer 5

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^4 + 1}{x^2}$

$ = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} + 2$

$ = \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} + 2$

$ \geq 0 + 2 = 2$