Entiendo que las tres dimensiones tienen cada una sus propios ejes, para líneas, planos y volúmenes, y que la 4 dimensión tiene un eje pero es complicado y difícil de determinar, pero por lo que entiendo es que está ahí.
Así que me preguntaba, prescindiendo de su complejidad, ¿tienen ejes las Dimensiones Superiores como la 5D a la 10/11D?
Claro que sí. En tres dimensiones,
Si está buscando un $26$ -con coordenadas $(a, b, c, \ldots, z)$ entonces
Gracias, esto ayudará, me pregunto si esto se puede decir de manera similar para la física o la física teórica también
Creo que aunque esta respuesta técnicamente proporciona la respuesta directa a la pregunta del OP, ya que la pregunta en sí está dirigida a una mejor comprensión de los espacios de dimensiones superiores, esta respuesta podría mejorarse mencionando que, si bien los espacios tienen ejes, no todo acerca de los ejes en 3d se aplica a los espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo, en dimensiones superiores a 3, un solo eje ya no determina unívocamente una rotación.
@Shufflepants - El OP parece estar hablando estrictamente de ejes de coordenadas. Así que mezclar el eje de una rotación (que no tiene nada que ver con ejes de coordenadas) es sembrar confusión. Y sólo en 3D se pueden asociar las rotaciones a un eje. En 2D, se asocian a puntos, no a líneas, y en 1D las rotaciones ni siquiera existen. De forma más general, una rotación se asocia a un espacio afín de codimensión 2.
Claro. En $n$ dimensiones, el $k^{\text{th}}$ eje, para algunos $1 \leq k \leq n$ es el span del vector cuyo $k^{\text{th}}$ componente es $1$ y todos los demás componentes $0$ . El problema es que no existe una visualización geométrica especialmente satisfactoria de estos ejes y hay que conformarse en gran medida con esta abstracción algebraica.
El primer término importante es el de espacio vectorial . Se trata de un término general; los espacios vectoriales pueden ser mucho más que unos simples $\mathbb{R}^n$ . Los polinomios, por ejemplo, forman un espacio vectorial de dimensión infinita.
Ahora tienes que entender qué es una dimensión. Si tienes un vector en tres dimensiones, escribes ese vector como $(4,1,7)$ . Esas coordenadas tienen sentido en el contexto de un base . Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes, que tiene el máximo tamaño posible para ese espacio vectorial. Este tamaño es la dimensión. Un espacio tridimensional se define por tener como máximo tres vectores linealmente independientes en un conjunto.
Edición: Por recomendación de Kaj Hansen, permítanme aclarar en este punto que una base de un espacio vectorial dado tiene siempre la misma cantidad de vectores. Esto es importante, porque define la dimensión del espacio vectorial.
Las coordenadas están ahora en relación a tu base. Si su base es $\{b_1, b_2, b_3\}$ el vector $(4,1,7)$ es el vector que se obtiene por la combinación lineal $4b_1 + 1b_2 + 7b_3$ .
Ahora date cuenta de que esta base puede cambiar. Puedes tomar tres vectores lineales independientes diferentes de tu base actual y convertirlos en la nueva base, dando como resultado que todos los vectores obtengan coordenadas diferentes.
Por poner un ejemplo, consideremos una imagen 3D en infografía que represente una de esas marionetas de madera que utilizan los artistas. Hay un sistema de coordenadas global para toda la imagen, y la marioneta tiene coordenadas dentro de él. Pero las extremidades tienen sistemas de coordenadas locales que están en relación con las articulaciones de la marioneta. Espero que te sirva de ayuda.
Ahora, para los ejes, un eje es simplemente la línea creada cuando sigues la dirección de un vector base. Nada más. Son arbitrarios, y ni siquiera tienen que ser ortogonales entre sí. No son un principio fundamental de un espacio. Las coordenadas son sólo números de cómo lo modelamos.
Otro punto de vista, digamos que se trata de determinar los ejes de la realidad, del espacio tridimensional en el que vivimos. ¿En qué dirección apuntarías el primer eje? Arbitrariamente. Decides una dirección para el primero y luego para los demás, y luego escribes las cosas en relación con ellos (o, mejor dicho, los vectores base, ya que también necesitas una longitud). No existe una única manera objetiva de crear tus ejes.
Edición: Insertado a partir del comentario de Kaj Hansen, nótese que normalmente se utiliza el base estándar $\{e_k\}^n_{k=1}$ para $\mathbb{R}^n$ que consta de los vectores $k_i$ que son todos cero excepto el $k^{th}$ componente que es uno. Con esos, una coordenada se evalúa a un vector con los mismos números. Ahora bien, he traído esto aquí y no arriba por una razón, y es porque acabamos de hablar de los "ejes de la realidad", que no existen. En el mundo real, no existe una coordenada objetiva (1, 0, 0). Por esa razón, incluso la base estándar no es "objetiva" ni nada por el estilo, sino que está ligada a algunas definiciones que hemos hecho. Cuando calculamos cosas en matemáticas, (1, 0, 0) es algo objetivo, porque en matemáticas sólo vivimos en definiciones y axiomas.
Con más dimensiones, no es diferente. Tienes una base y trabajas con ella, y puedes cambiar totalmente la base.
Sin embargo, las cosas pueden complicarse cuando se habla de espacios físicos. El tiempo se comporta de forma diferente como dimensión, y ahora estamos en un espacio de Minkowski, y las cosas se complican.
Si estás interesado en ejemplos para espacios vectoriales que no son R^n, como los espacios vectoriales polinómicos o el de otras funciones, puedo explicarlo también, pero como esto ya es bastante largo, lo dejaré por ahora.
Eso está bien, creo que ahora entiendo, suena como dimensiones tienen al menos un eje para cada uno, incluso para 4 dimensiones y más allá.
Te saludo por publicar esto. La palabra "dimensión" es probablemente el término matemático más incomprendido que ha entrado en el vocabulario profano, y en última instancia algo como esto es lo que se necesita para explicarlo adecuadamente.
Dos adiciones recomendadas: señalar explícitamente los hechos de que 1) dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores y 2) generalmente, salvo que se indique lo contrario, utilizamos la base estándar $\{\mathbf{e}_k\}_{k=1}^n$ para $\mathbb{R}^n$ donde $\mathbf{e}_k$ es el vector cuyo $k^\text{th}$ componente es $1$ y todos los demás $0$ . Por lo tanto, escribir $\langle 2, 5, 3 \rangle$ está diciendo implícitamente $2 \langle 1, 0, 0 \rangle + 5 \langle 0, 1, 0 \rangle + 3 \langle 0, 0, 1 \rangle$ .
En tres dimensiones los tres ejes, cada uno perpendicular a los otros dos, te dicen que identificas un punto dando sus coordenadas $(x,y,z)$ . Los tres ejes son las listas de coordenadas que tienen una sola entrada que no es $0$ .
Entonces puedes hacer geometría haciendo álgebra con las coordenadas. Por ejemplo, los ocho puntos
(0, 0, 0) (1, 1, 0)
(1, 0, 0) (1, 0, 1)
(0, 1, 0) (0, 1, 1)
(0, 0, 1) (1, 1, 1)son los vértices de un cubo. (Ésas son todas las listas de coordenadas que puedes hacer usando sólo $0$ y $1$ .)
Si te permites más coordenadas podrás estudiar dimensiones superiores. Así que la $16$ formas de hacer todas las listas de cuatro coordenadas cada una de las cuales es sólo $0$ y $1$ son los vértices del análogo de un cubo en cuatro dimensiones. Puedes estudiar sus propiedades. En realidad, "verlo" como un objeto geométrico está más allá de nuestras capacidades humanas. Esto es lo mejor que podemos hacer: https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract .
Está claro que no hace falta detenerse en cuatro coordenadas/dimensiones.
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¿a qué se refiere con un eje para el volumen?
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@Mirko como en el espacio tridimensional
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Je je. Estoy pensando en un héroe de dimensiones superiores blandiendo un hacha a la cabeza de una Forma Asesina para derrotar al Álgebra de la Mentira.
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Yo diría que es más o menos el definición de una dimensión: piensa en ella como otra serie de direcciones a las que puedes ir. 1D sólo te permite ir a izquierda y derecha, 2D añade adelante y atrás, 3D añade arriba y abajo, etc. Cada dimensión es como la anterior, sólo que con otro eje en ángulo recto con todos los ejes anteriores. (Obviamente, esto se vuelve difícil de visualizar más allá de 3, pero a las matemáticas no les importa mucho, funciona más o menos igual para cualquier número de dimensiones).
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@DarrelHoffman No veo por qué es tan difícil de visualizar. Yo sólo uso un truco que me enseñó mi profesor de pre-cálculo en el instituto hace años: si quieres visualizar un espacio de cuatro dimensiones, primero visualiza un espacio de cuatro dimensiones. $n$ -y, a continuación, tomamos $n=4$ . ¿Qué puede ser más sencillo? :P