Dados los números positivos de$a,b,c$, ¿existe una función$h$ tal que$h(ax+b) = c \cdot h(x)$ para todos$x>0$?

Question

Dado $a,b,c$ números positivos, hay una función de $h$ (no trivial) tales que $$h(ax+b) = c\, h(x)$$ for all $x>0$ ?.

Sé que la toma de $h(x)= c^{\frac{x}{b}}$ hace $h(x+b) = c \, h(x)$, y que la toma de $h(x)= c^{\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}$ hace $h(ax)=c\,h(x)$ pero no veo la manera de combinar ambas condiciones.

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Este es un caso específico de Shr\"oder de la ecuación,

$$f(x)=cf(\alpha(x))=c^nf(\alpha^n(x))$$

Podemos resolver este problema por resolver para $\alpha^n(x)$, donde $\alpha(x)=ax+b$. Algunos juegan alrededor de la muestra que $$\alpha^n(x)=b+ab+a^2b+\cdots+a^{n-1}b+a^nx=b\frac{1-a^n}{1-a}+a^nx=\frac{b}{1-a}+\left(x-\frac{b}{1-a}\right)a^n$$ Ahora vamos a separar el dominio de $f$ en los conjuntos de $E_{\gamma}$ donde $x\in E_\gamma$ si y sólo si existe un número entero $m$ tal que $x=\alpha^m(\gamma)$. De esta forma una relación de equivalencia, pero lo más importante es que separa nuestro dominio en piezas independientes de $f$. Para cada uno de estos, vamos a $$f_\gamma(x)=\frac{f(x)}{f(\gamma)}$$ Entonces $$f_\gamma(\alpha^n(\gamma))=c^n$$ La solución para $a^n$ en $\alpha^n(\gamma)$ $$a^n=\left(\alpha^n(\gamma)-\frac{b}{1-a}\right)/\left(\gamma-\frac{b}{1-a}\right)$$ podemos definir una nueva función $$g_\gamma\left(\left(x-\frac{b}{1-a}\right)/\left(\gamma-\frac{b}{1-a}\right)\right)=f_\gamma(x)$$ Así $$g_\gamma(a^n)=c^n$$ En este punto, tenga en cuenta que nosotros mearly buscar cualquier función que satisface la anterior para todas las $n$, ya que estos son los únicos valores que nos interesa. Por lo tanto, $$g_\gamma(x)=x^{\log_a(c)}$$ es una solución simple. Pero esto funciona para todas las $\gamma$, por lo que el trabajo backwords, vemos que $$f(x)=f(\gamma)f_\gamma(x)=f(\gamma)\left(\left(x-\frac{b}{1-a}\right)/\left(\gamma-\frac{b}{1-a}\right)\right)^{\log_a(c)}$$ en cada una de las $E_\gamma$ dominio.

Si a usted le gustaría aprender más acerca de estos problemas, te recomiendo "las Ecuaciones Funcionales y Cómo resolverlos" por Christopher G. Pequeño.

Answer 2

Hay muchas de tales funciones (excepto en el caso de $a=1,b=0,c\neq 1$). Para mayor comodidad, permítanme primero asuma $a\neq 1$ y considerar las funciones de $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacer $$h(ax+b)=ch(x)$$ for all $x\in\mathbb{R}$, not just $x>0$. There is then a unique $d\in\mathbb{R}$ such that $ad+b=d$, namely $d=\frac{b}{1-a}$. Writing $f(y)=h(y+d)$ and substituting $x=y+d$ in the functional equation, we then see that the required functional equation on $h$ is equivalent to $f$ satisfying $$f(ay)=cf(y).$$ This equation has tons of solutions besides just an exponential solution $f(y)=c^{\log_a|y|}$ like you mentioned. Indeed, supposing $a>1$, then for any function $f_0:(-a,-1]\cup[1,a)\to\mathbb{R}$, we can extend to a function $f$ satisfying the functional equation on all of $\mathbb{R}$ by defining $f(y)=c^nf_0(y/a^n)$ for the unique $n\in\mathbb{Z}$ such that $y/a^n\en (-a,-1]\copa[1,a)$ when $s\neq 0$, and $f(0)=0$. (If $c=1$, then the value of $f(0)$ can also be assigned arbitrarily.) When $un>1$ the story is similar, just with $[-1,-a)\cup (un,1]$ instead of $(-una,-1]\copa[1,a)$.

El caso de $a=1$ igualmente tiene muchas soluciones, a menos que $b=0$: dada cualquier función de $h_0:[0,b)\to\mathbb{R}$, se puede extender a $h$ que satisface la ecuación funcional $h(x+b)=ch(x)$ definiendo $h(x)=c^nh_0(x-nb)$ , por la única $n\in\mathbb{Z}$ tal que $x-nb\in [0,b)$. Si $a=1$ e $b=0$, entonces el problema es trivial: si $c\neq 1$ , entonces, evidentemente, sólo el cero de la función y, si es $c=1$ entonces cualquier función obras.