Divergencia

Question

Tengo esta pregunta en un prelims examen. $f$ es positivo, continuamente diferenciable de la función en $(0,\infty)$ tal que $f' >0$. Si $f(x) \leq Cx^2$ para algunos $C>0$ entonces $\int \frac{1}{f'(x)}$ diverge.

Hay una pista en el problema que pide a establecer que si $\int \frac{1}{f'(x)}< \infty$ entonces $\int\limits_{a}^{\infty} \frac{1}{f'(x)} \to 0$ como $a\to \infty$. Puedo establecer la reclamación efectuada en la pista por escrito $\int f = \sum_{n} \int_{n}^{n+1} f$ y luego observar que la suma converge absolutamente y, por tanto, la cola de la serie (que es la necesaria integral) llega a 0. Creo que soy ahora se supone que demuestran que en nuestro caso $\int_{a}^{\infty} \frac{1}{f'(x)}$ no va a cero, como se $a\to \infty$. Pero, no soy capaz de hacer uso del hecho de que $f(x)\leq Cx^2$. No sé si es útil tener en cuenta que $\frac{1}{f'(x)}=(f^{-1})'(f(x))$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Me gustaría algunos consejos sobre cómo utilizar esta condición.

Answer 1

Tenga en cuenta que por Cauchy-Schwarz desigualdad se mantiene $$ \int_A^{2A} \frac {dx} {f'(x)}\cdot \int_A^{2A} f'(x)dx \ge \left(\int_A^{2A} 1 \, dx\right)^2 = A^2. $$ También podemos ver que $$ 4CA^2 \ge f(2A) > f(2A) - f(A) = \int_A^{2A} f'(x) dx $$ por el teorema fundamental del cálculo. Esto le da $$ \int_A^{2A} \frac {dx}{f'(x)} \ge \frac 1{4C},\quad \forall A>0, $$ lo cual implica \begin{align*} \int_0^\infty \frac {dx}{f'(x)} =& \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{2^j}^{2^{j+1}} \frac {dx}{f'(x)} \\ \ge & \sum_{j=-\infty}^\infty \frac 1{4C} = \infty. \end{align*}