¿Dónde está el error en mi 'derivación' de$(uv)' = u'v$?

Question

Así que traté de derivar la regla del producto sin agregar $f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)$ como solíamos hacerlo. En su lugar, comencé a derivarlo directamente y llegué a una conclusión extraña: $(uv)'=u'v$ . La derivación se ve así:

\begin{align} (uv)' & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x\to0} v(x+\Delta x)-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x\to0} v(x) \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}v(x)-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}v(x) \\ & = v(x)(\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}) \\ & = v(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \\ & = u'v \end{align}

Aparentemente hay un error en alguna parte, pero no puedo averiguar dónde exactamente. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Encuentro su notación muy engorroso. Ahora, teniendo en cuenta que la diferenciabilidad implica continuidad, podemos escribir

PS

PS

Completa los detalles. Lo anterior es la prueba más fácil que conozco de la regla del producto para el derivado. El truco en el primer paso también se utiliza en los límites generales.

Answer 2

Esto ha sido señalado en los comentarios ya, pero el error en la prueba se introduce en este paso: $$ \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)v(x)}{\Delta x}.$$

Ninguno de estos límites existe (en ambos casos, la cantidad va al infinito), así que la diferencia es indeterminado. Una vez que comience la manipulación de tal cosa, como si tales límites son válidos, es probable que venga a cualquier número de respuestas erróneas. Mediante la inserción de un par de pasos después de esto, usted podría reducir la expresión a cero.

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Tomando la idea de que un $u'$ tiene que ver con el cambio en el $u$ sobre el cambio en $x$, escribir $\Delta u = u(x+\Delta x) - u(x).$ Asimismo escribir $\Delta v = v(x+\Delta x) - v(x).$

Que es, $u(x+\Delta x) = u(x) + \Delta u$ e $v(x+\Delta x) = v(x) + \Delta v.$ Enchufe ahora esta en su primera fórmula y laboriosamente a lo largo, sin saber a dónde vamos hasta que lleguemos allí.

\begin{align} (uv)' &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{(u(x) + \Delta u)(v(x) + \Delta v) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{(u(x)v(x) + (\Delta u)v(x) + u(x)(\Delta v) + (\Delta u)(\Delta v)) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{(\Delta u)v(x) + u(x)(\Delta v) + (\Delta u)(\Delta v)}{\Delta x} \\ \end{align}

Ahora observar que \begin{align} \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta u}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x), \\ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta v}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x), \\ \lim_{\Delta x\to0} \frac{(\Delta u)(\Delta v)}{\Delta x} &= \left(\lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\right) \left(\lim_{\Delta x\to0} \Delta v\right) = 0 \end{align} desde $\lim_{\Delta x\to0} \Delta v = 0.$ Poniendo todo esto junto,

\begin{align} (uv)' &= v(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta u}{\Delta x} + u(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta v}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to0} \frac{(\Delta u)(\Delta v)}{\Delta x} \\ &= v(x) u'(x) + u(x) v'(x) + 0 \\ &= u' v + u v'. \end{align}

No hay trucos con la adición y la sustracción de una misteriosa término u otra gran fuente de inspiración, la justa distribución de la multiplicación sobre la adición y golpeando al monstruo hasta que está muerto.

Personalmente me gusta más inspirado soluciones, pero a veces, cuando estás atascado en busca de la inspiración que sólo puede empujar su camino a través de.

Answer 3

Con respecto a donde se equivocó en su publicación original, es en la segunda línea. Usted ha escrito un límite de la forma $\infty -\infty$ que es indeterminado. Recuerde, $x$ es fija, por lo $u(x), v(x)$ también son fijos, por lo tanto, el factor de $\frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}$ de el primer término en la línea 4 y $\frac{u(x)}{\Delta x}$ el segundo plazo de la línea 4 tiene límites infinitos como $\Delta x \rightarrow 0$. Pero en realidad, ya tenía este error actual de la línea 2.

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Quiero mencionar otra forma de 'llegar' al producto de la regla de uso de los logaritmos. Es importante reconocer que esto no es una prueba, excepto cuando las funciones de $u,v$ son estrictamente positivos. Sin embargo, es una buena manera simbólica para recordar la regla del producto (un útil recurso mnemotécnico). Si $y=uv$ luego

\begin{align} \log{y}&=\log{uv}&\\ &=\log{u} +\log{v}\end{align}

Por lo tanto,

$\frac{y'}{y}=\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}$

Ahora, multiplica por $y$ y consigue $y'=u'v+v'u$. De nuevo, esto no es una prueba de la general de los productos de la regla, pero otros carteles ya han dado explicaciones satisfactorias mediante el cociente de la diferencia de definición.

Personalmente, me gusta este método porque también funciona para producir una fórmula para la derivada de un producto de cualquier número finito de funciones (siempre que todas estas funciones son estrictamente positivo!).

Si $y=\prod_{j=1}^n f_j$ luego

\begin{align} \log{y}&=\log{\prod_{j=1}^n f_j}&\\ &= \sum_{j=1}^n \log{f_j}\end{align}

por lo tanto,

\begin{align} \frac{y'}{y}= \sum_{j=1}^n \frac{f_j'}{f_j} \end{align}

por lo tanto

\begin{align} y'&=\sum_{j=1}^n \frac{yf_j'}{f_j}\\ &= \sum_{j=1}^n \left(f_j'(x)\prod_{\stackrel{1\leq i\leq n}{i\neq j}}f_j(x)\right) \end{align}

Answer 4

Como otros han señalado, y a hacer @Pakk feliz, el error está en la segunda línea. Ahora voy a seguir y responder a la pregunta que usted no pide, pero probablemente debería tener:

Cómo podría yo, también, aprender a detectar dónde está el error?

Bien, usted sabe que $(uv)' = u'v + u v'$, ¿verdad? Pero usted ha "demostrado" que $(uv)' = u'v$. Así que si usted puede encontrar las funciones de con $uv' \ne 0$, los dos de la derecha lados serán diferentes. Hay un montón de funciones $u$ e $v$ con $uv' \ne 0$ de curso, pero recogiendo una muy simple par hacer las cosas, especialmente fácil de error. Así que vamos a recoger $u$ a ser una constante: $u(x) = 1$, e $v$ a ser algo cuya derivada es constante: $v(x) = x$. Ahora echemos un vistazo a tu "prueba" para estas dos funciones. Yo sólo voy a sustituir estos valores en particular para $u$ e $v$ (o sus derivados), siempre que se produzca en la secuencia de sus límites: \begin{align} (uv)' & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x\to0} v(x+\Delta x)-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x\to0} v(x) \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}v(x)-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}v(x) \\ & = v(x)(\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x)}{\Delta x}) \\ & = v(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \\ & = u'v \end{align} se convierte (al momento de evaluar a $x = 1$, que es tan buena como otra cualquiera): \begin{align} (uv)'(1) & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(1+\Delta x)v(1+\Delta x)-u(1)v(1)}{\Delta x} \\ (uv)'(1) & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{1\cdot (1+\Delta x)-1 \cdot 1}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{1\cdot(1+\Delta x)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to0} \frac{1\cdot 1}{\Delta x} \\ \ldots \end{align} y ahora de repente el "bicho" salta a la vista: la cosa en la segunda línea, que es $1$, no es en absoluto lo que tienes en la tercera línea, que es una diferencia de dos límites que no existen.

Por cierto, un error diferente, a saber, que la mano izquierda de lo que usted escribió es una función, mientras que el lado derecho, si el límite existe, es un número real, también se hace muy evidente cuando se trate de revisar las cosas de esta manera. El lado izquierdo de su secuencia de igualdades debería haber sido $(uv)'(x)$, no $(uv)'$. Barrí de que el error bajo la alfombra con mi "cuando evaluamos a $x = 1$..." comentario para que yo pudiera llegar a la demostración de la habilidad más útil.

Breve resumen: Si has probado algo general que usted sospecha que está mal, encontrar un específico ejemplo donde aparece para producir la respuesta incorrecta, y traza que ejemplo a través de su supuesta "prueba" para encontrar el error (si lo hay).

Answer 5

Recuerde que solo puede usar las reglas aditivas y multiplicativas para los límites cuando pueda justificar que esos límites tienen convergencia finita. Por lo tanto, solo tenemos que organizar la definición de límite de $[uv]'$ en eso para $u\cdot v'+u'\cdot v$ (o viceversa). Esto es bastante sencillo, siempre y cuando reconozca que: $u(x)=\lim\limits_{h\to 0}u(x{+}h)$ .

$$ \begin{align}[uv'+u'v](x)&=u(x)\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{v(x{+}h)-v(x)}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{u(x{+}h)-u(x)}{h}\right)v(x) \\[1ex]&= \left(\lim_{h\to 0}u(x{+}h)\right)\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{v(x{+}h)-v(x)}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{u(x{+}h)-u(x)}{h}\right)v(x) \\[1ex]&=\lim_{h\to 0}\dfrac{u(x{+}h)\left(v(x{+}h)-v(x)\right)+\left(u(x{+}h)-u(x)\right)v(x)}{h}\\[1ex]&=\lim_{h\to x}\dfrac{u(x{+}h)\,v(x{+}h)-u(x{+}h)\,v(x)+u(x{+}h)\,v(x)-u(x)\,v(x)}{h}\\[1ex]&=\lim_{h\to 0}\dfrac{u(x{+}h)\,v(x{+}h)-u(x)\,v(x)}{h}\\[3ex][uv'+u'v](x)&= [uv]'(x)\end {align} $$