Hille Yosida teorema de la aplicación

Question

Descargo de responsabilidad: bastante largo y específicas (contracción semi grupos involucrados).

He cuarto orden de la ecuación parabólica $$u_t + \Delta^2 u = 0$$ en $U_T = U \times [0,T]$. $U \subset \mathbb{R}^m$ es un conjunto abierto acotado con suave límite. Las condiciones de contorno son: $$u(x,0) = g \en L^2(U)$$ y $$u=\frac{\partial U}{\partial n}=0 \quad \text{en } \partial U \times [0,T]$$ Me gustaría probar la existencia de una solución débil. De Hille Yosida teorema de deduzco que la debilidad de la solución existe si el operador $-\Delta^2$ genera una contracción semigroup (es correcto?): Para probar esto me define (es correcto?) $$D(-\Delta^2) = H^4(U) \cap H_0^2 (U)$$ Densidad:

$C_0^{\infty}(U) \subset H^4(U) \cap H_0^2 (U)$. $C_0^{\infty}(U)$ es denso en $L^2(U)$ e lo $D(-\Delta^2)$ es denso en $L^2(U)$ (es correcto?)

Closedness:

$\{u_k\}_k^{\infty} \subset D(-\Delta^2)$ con $$\begin{align*} u_k & \to u \\ -\Delta^2 u_k & \to f \end{align*}$$ en $L^2(U)$ al $k \to \infty$. Tengo $$||u_k - u_l||_{H^2(U)} \leq C(||-\Delta^2 u_k + \Delta^2 u_l||_{L^2(U)} + ||u_k - u_l||_{L^2(U)})$$ y, a continuación, $u \in D(-\Delta^2)$ $-\Delta^2 u =f$

$\lambda \in \mathbb{R}$ pertenece a resolvent set $\rho (-\Delta^2)$ si el operador $\lambda I + \Delta^2: D(-\Delta^2) \to L^2(U)$ es de uno a uno y sobre.

Para $\lambda \in \rho (-\Delta^2)$, el resolvent operador $R_{\lambda}: L^2(U) \to L^2(U)$ está definido por $R_{\lambda}u = (\lambda I + \Delta^2)^{-1} u$.

Tengo que probar también

$(0,\infty) \subset \rho (-\Delta^2)$:

Me muestran que la ecuación de $\lambda u + \Delta^2 u = f$ tiene única solución débil de $\lambda > 0$ y se supone que también es regular (se puede hacer esto?) Ahora $\lambda I + \Delta^2$ es uno-a-uno y a por $\lambda > 0$ e lo $(0,\infty) \subset \rho (-\Delta^2)$.

La última cosa a probar

$||R_{\lambda}||_{L^2(U)} \leq \frac1{\lambda}$:

Solución débil satisface $$\lambda \int_U uv dx + \int_U \Delta v \Delta u dx = \int_U fv dx$$ para todos los $v \in H_0^2(U)$. Me puse a $u=v$ para obtener $$\lambda \int_U u^2 dx + \int_U (\Delta u)^2 dx = \int_U fu dx$$ Desde aquí $$\lambda \int_U u^2 dx = \lambda ||u||_{L^2(U)}^2 \leq \int_U fu dx \leq ||f||_{L^2(U)} ||u||_{L^2(U)}$$ y $$||u||_{L^2(U)} \leq \frac{1}{\lambda} ||f||_{L^2(U)}$$ Reconociendo $$R_{\lambda}f = u$$ tenemos $$||R_{\lambda}|| \leq \frac{1}{\lambda}$$ como se desee.

Está tan cerca de la ok? Ayuda muy aceptado.

Answer 1

Si $A : \mathcal{D}(A)\subseteq X\rightarrow X$ es un cerrado densamente definido por el operador lineal sobre un espacio de Hilbert $X$, $A^{\star}A$ es un cerrado densamente definido positivo selfadjoint operador lineal. A fin de comenzar con $\Delta$ $H^{2}_{0}$ y definen $\Delta^{\star}\Delta$, que tiene el mismo dominio y acción como la propuesta de $\Delta^{2}$.