Descargo de responsabilidad: bastante largo y específicas (contracción semi grupos involucrados).
He cuarto orden de la ecuación parabólica $$ u_t + \Delta^2 u = 0 $$ en $U_T = U \times [0,T]$. $U \subset \mathbb{R}^m$ es un conjunto abierto acotado con suave límite. Las condiciones de contorno son: $$ u(x,0) = g \en L^2(U) $$ y $$ u=\frac{\partial U}{\partial n}=0 \quad \text{en } \partial U \times [0,T] $$ Me gustaría probar la existencia de una solución débil. De Hille Yosida teorema de deduzco que la debilidad de la solución existe si el operador $-\Delta^2$ genera una contracción semigroup (es correcto?): Para probar esto me define (es correcto?) $$ D(-\Delta^2) = H^4(U) \cap H_0^2 (U) $$ Densidad:
$C_0^{\infty}(U) \subset H^4(U) \cap H_0^2 (U)$. $C_0^{\infty}(U)$ es denso en $L^2(U)$ e lo $D(-\Delta^2) $ es denso en $L^2(U)$ (es correcto?)
Closedness:
$\{u_k\}_k^{\infty} \subset D(-\Delta^2)$ con \begin{align*} u_k & \to u \\ -\Delta^2 u_k & \to f \end{align*} en $L^2(U)$ al $k \to \infty$. Tengo $$ ||u_k - u_l||_{H^2(U)} \leq C(||-\Delta^2 u_k + \Delta^2 u_l||_{L^2(U)} + ||u_k - u_l||_{L^2(U)}) $$ y, a continuación, $u \in D(-\Delta^2)$ $-\Delta^2 u =f$
$\lambda \in \mathbb{R}$ pertenece a resolvent set $\rho (-\Delta^2)$ si el operador $\lambda I + \Delta^2: D(-\Delta^2) \to L^2(U)$ es de uno a uno y sobre.
Para $\lambda \in \rho (-\Delta^2)$, el resolvent operador $R_{\lambda}: L^2(U) \to L^2(U)$ está definido por $R_{\lambda}u = (\lambda I + \Delta^2)^{-1} u $.
Tengo que probar también
$(0,\infty) \subset \rho (-\Delta^2)$:
Me muestran que la ecuación de $\lambda u + \Delta^2 u = f$ tiene única solución débil de $\lambda > 0$ y se supone que también es regular (se puede hacer esto?) Ahora $\lambda I + \Delta^2$ es uno-a-uno y a por $\lambda > 0$ e lo $(0,\infty) \subset \rho (-\Delta^2)$.
La última cosa a probar
$||R_{\lambda}||_{L^2(U)} \leq \frac1{\lambda}$:
Solución débil satisface $$ \lambda \int_U uv dx + \int_U \Delta v \Delta u dx = \int_U fv dx $$ para todos los $v \in H_0^2(U)$. Me puse a $u=v$ para obtener $$ \lambda \int_U u^2 dx + \int_U (\Delta u)^2 dx = \int_U fu dx $$ Desde aquí $$ \lambda \int_U u^2 dx = \lambda ||u||_{L^2(U)}^2 \leq \int_U fu dx \leq ||f||_{L^2(U)} ||u||_{L^2(U)} $$ y $$ ||u||_{L^2(U)} \leq \frac{1}{\lambda} ||f||_{L^2(U)} $$ Reconociendo $$R_{\lambda}f = u$$ tenemos $$ ||R_{\lambda}|| \leq \frac{1}{\lambda} $$ como se desee.
Está tan cerca de la ok? Ayuda muy aceptado.
