Hausdorff deja de los filtros

Question

Estoy seguro de que sólo estoy siendo tonto, pero me he topado con una reclamación en papel, estoy leyendo que no entiendo.

Supongamos $\mathcal{F}$ es un filtro en $\mathbb{N}$. Hay una natural topología $\tau_\mathcal{F}$ a $\mathbb{N}$ asociado a $\mathcal{F}$ - a saber, acaba de tomar como abre exactamente los conjuntos en $\mathcal{F}$, más el conjunto vacío. Por supuesto, $\tau_\mathcal{F}$ nunca es Hausdorff (I requieren filtros para que no contenga $\emptyset$).

Sin embargo, en la segunda página de Todorcevic/Uzcátegui del papel de la Analítica de topologías contable establece es el siguiente afirmación:

dado un filtro de $\mathcal{F}$ sobre $\mathbb{N}$ elemental de la construcción es fácil definir una topología de Hausdorff de la misma complejidad que el filtro de $\mathcal{F}$.

No, sin embargo, dar una referencia, y mi google-fu me falla debido a la gran cantidad de la relación de éxitos para las consultas como "Hausdorff filtro". Mi pregunta es, simplemente, lo que la construcción tienen en mente?

He incluido el "descriptivo de conjunto de la teoría de la" etiqueta de ambos, ya que el papel en cuestión implica descriptivo de la teoría de conjuntos y porque estoy interesado en la "misma complejidad" aspecto de la construcción (que es un trabajo descriptivo de conjunto teórico de la preocupación), así como su Hausdorffitude.

Answer 1

Creo que sólo se refieren a la introducción de ese papel, en donde los autores, en mi opinión, declarar lo que van a discutir más adelante en el documento en más detalle. En particular, en el mismo papel, por Ejemplo 2.3 dan "un elemental método para construir una Hausdorff topología basada en un filtro", como se dice justo antes de que el ejemplo. Yo no intento leer los detalles o comprender la construcción (pero aparece de ellos puede tener más de una posible construcción en mente, e ilustrar algunos de ellos en su papel, en algunos detalles).

Para hacer esta respuesta un poco más de auto-contenida puedo copiar el Ejemplo 2.3 de su papel aquí.

Ejemplo 2.3. Deje $\mathcal F$ ser un filtro en $\omega$. Podemos definir una topología $\tau(\mathcal F)$ sobre $\omega+1$ por $\tau(\mathcal F)=\{\{\omega\}\cup A: A\in\mathcal F\}\cup\mathcal P(\omega)$. Está claro que si $\mathcal F$ no es principal, a continuación, $\tau(\mathcal F)$ es una topología de Hausdorff. Ya que la función $f:2^\omega\to 2^{\omega+1}$ dado por $f(A)=A\cup\{\omega\}$ es continua y $A\in\mathcal F$ fib $f(A)\in\tau(\mathcal F)$, a continuación, $\mathcal F$ es Wadge reducible a $\tau(\mathcal F)$. Observe también que si $\mathcal F$ es no trivial de filtro, a continuación, $\omega$ es el único punto límite de $(\omega+1,\tau(\mathcal F))$. De hecho, es claro que esta es una caracterización de dichos espacios. (etc.)

Traté de leer un poco más, el Ejemplo 5.1 da otra construcción de una topología de un filtro, esta vez $T_2$, cero-dimensional.

Ejemplo 5.1. Deje $\mathcal F$ ser un filtro en $\Bbb N$ que contiene el filtro de cofinite conjuntos. Definir una topología de más de $X=\omega^{<\omega}$ como sigue: $U\in \tau_{\mathcal F}\iff \{n\in\Bbb N : s\hat{} n\in U\}\in \mathcal F$ para todos los $s\in U$. Está claro que $\tau_{\mathcal F}$ es $T_2$, cero-dimensional y no tiene puntos aislados. A partir de la definición de $\tau_{\mathcal F}$ es fácil comprobar que $\tau_{\mathcal F}$ es $\Pi_{\alpha+1}^0$ si $\mathcal F$ es $\Pi_{\alpha+1}^0$ o $\Sigma_\alpha^0$.

Más abajo:
De especial interés es el caso de $\tau_{\mathcal F}$ cuando $\mathcal F$ es el filtro de cofinite conjuntos que vamos a denotar simplemente por $\tau_{\mathrm{FIN}}$. Vamos a mostrar que el $\tau_{\mathrm{FIN}}$ no admitir a un $F_\sigma$ base (el mismo argumento se aplica a $\tau_{\mathcal F}$ para cualquier filtro de $\mathcal F$).