$f:[0,1]\to[0,1]$ será una función continua. Deje$x_1\in[0,1]$ y defina$x_{n+1}={\sum_{i=1}^n f(x_i)\over n}$. Pruebe,$\{x_n\}$ es convergente

Question

He probado un poco, que de la manera sig-
Desde $f(x_n)\in[0,1]$, $\{f(x_n)\}$ tiene un convergentes subsequence decir $y_n=f(x_{r_n})\ \forall n\in\Bbb{N}$
Vamos, $\lim y_n=l\implies \lim \frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}=l\implies \lim \frac{f(x_{r_1})+f(x_{r_2})+\cdots+f(x_{r_n})}{n}=l$
Pero estoy recibiendo ninguna idea para proceder y demostrar la convergencia de $\{x_n\}$.
También he tratado de demostrar la secuencia de cauchy que se va-
$x_{m+1}-x_{n+1}={\sum_{i=1}^m f(x_i)\over m}-{\sum_{i=1}^n f(x_i)\over n}\le {\sum_{i=1}^m f(x_i)\over n}-{\sum_{i=1}^n f(x_i)\over n}$ (desde $m\ge n)$
$\implies |x_{m+1}-x_{n+1}|\le \frac{|f(x_m)|+|f(x_{m-1})+\cdots+|f(x_{n+1})|}{n}\le\frac{m-n}{n}$ (desde $f([0,1])\subseteq [0,1])$
Ahora, ¿qué obtengo si me tienden $m,n\to\infty$? Pero necesito hacer algo más en el 2º caso, ya que yo no tengo dónde se utiliza la continuidad de $f$.
¿Alguien puede dar una idea para demostrarlo? Gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\tag1x_{n+1}=\left(1-\frac1n\right)x_n+\frac1n f(x_n) $$ es una combinación convexa de $x_n$ e $f(x_n)$. En particular, $$ \tag2x_{n+1}-x_n=\frac{f(x_n)-x_n}n\to 0.$$

Claramente, $0\le \liminf x_n\le \limsup x_n\le1$. Suponga $ \liminf x_n< \limsup x_n$. Como la secuencia debe infinitamente a menudo a pie de $\approx \liminf x_n$ a $\approx \limsup x_n$ y de acuerdo a las $(2)$ debe hacerlo en forma arbitraria pequeños pasos, vemos que el conjunto de $$A:=\{\,x_n\mid x_{n+1}>x_n\,\}\cap (\liminf x_n,\limsup x_n)$$ is dense in $[\liminf x_n,\limsup x_n]$. De hecho, si $\liminf x_n<u<v<\limsup x_n$, entonces nos encontramos con la $n$ con $u<x_n<v$ como sigue: De $(2)$existe $n_1$ con $|x_{n+1}-x_n|<v-u$ para todos los $n>n_1$. A partir de la definición de $\liminf$existe $n_2>n_1$ con $x_{n_2}<u$. A partir de la definición de $\limsup$existe $n_3>n_2$ con $x_{n_3}>v$. Deje $n$ ser máxima entre $\{n_2, \ldots, n_3\}$ con $x_n< v$. Luego (como ciertamente $n\ne n_3$) $x_{n+1}>v$ y, por tanto, $x_n>x_{n+1}-(v-u)\ge u$, lo $u<x_n<v\le x_{n+1}$ e lo $x_n\in A\cap (u,v)$.

Simétricamente, el conjunto $$B:=\{\,x_n\mid x_{n+1}<x_n\,\}\cap (\liminf x_n,\limsup x_n)$$ is dense in $[\liminf x_n,\limsup x_n]$. Note that $f(x)>x$ for all $x\en$ and $f(x)<x$ for all $x\in B$. Pick $a\in A$. A continuación, $f(x)>x$ en un abrir barrio de $U$ de $a$. A continuación, $B\cap U=\emptyset$, contradiciendo espesura. Por lo tanto, debemos tener $\liminf x_n=\limsup x_n$, es decir, $\{x_n\}_{n\in\Bbb N}$ es convergente.