¿Por qué los teoremas de valor medio tienen un intervalo abierto para diferenciación mientras están cerrados para continuidad?

Question

Para decir el valor de teoremas como el de Lagrange y de Rolle, tenemos las siguientes condiciones:

Para aplicar el valor medio el teorema de la función $f(x)$ para el dominio $[a,b]$ , debe ser

(1) continua en $[a,b]$

(2) diferenciable en $(a,b)$

Así que ¿por qué es que para los criterios de differentiablity, tenemos el intervalo abierto ?? Es posible que una función derivable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ a no ser diferenciable en los puntos finales?

Por eso también es la primera instrucción que se necesitan ?? No la segunda declaración de differentiablity también significa que la función es continua ?? Yo no soy muy experimentado en el cálculo y todavía en la escuela secundaria, por lo que podría ser algo demasiado obvio que me falta , por favor ayuda :)

Answer 1

Aquí hay un par de ejemplos para pensar:

1. $f(x) = \sqrt{x}$ en el intervalo de $[0,1]$. Este es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$, pero no diferenciable en 0, en cualquier sentido razonable. Sin embargo, el valor medio teorema se aplica a ella.

2. $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0. \end{cases}$ Esto es diferenciable en $(0,1)$ , pero el valor medio teorema no se aplica a él.

Answer 2

Por ejemplo, la función $\sqrt{x(1-x)}$ es continua en $[0,1]$ pero solo es diferenciable en $(0,1)$ .

Por otro lado, $1/x$ es diferenciable en $(0,\infty)$ pero no es continuo en $0$ (incluso si lo define en $0$ ).