Prueba de una identidad binomial

Question

Los experimentos con computadora sugieren que $$f_m(n,k)= \sum\limits_{j = 0}^n {{{( - 1)}^{n - j}}}\frac {2j + 1}{n + j + 1}\binom{2n}{n-j}\sum\limits_{l = 0}^{m - 1} \binom{mj+l+k}{2k}$ $ satisface $$f_m(k,k)=m^{2k+1}$$ and $$f_m(n,k)=0$$ for $ n> k. $

¿Hay una prueba simple de este hecho?

Answer 1

Tengo una prueba para ambas demandas, pero es bastante técnico y voy a elaborar más tarde.

En primer lugar, simplificar la segunda suma a $\binom{m(j+1)+k}{2k+1}-\binom{mj+k}{2k+1}$. Entonces, reagrupar los términos por valor de $a$ en $\binom{a}{2k+1}$, y el uso del binomio mágico para volver a escribir como $$f_m(n,k)=\binom{m(n+1)+k}{2k+1}+\sum_{j=1}^n{\frac{j}{n+1}(-1)^{n-j-1}\binom{2n+2}{n-j+1}\binom{mj+k}{2k+1}}.$$

Deje $$P=X\binom{X+k}{2k+1}=(2k+1)!^{-1}\prod_{i=0}^k{(X^2-i^2)}.$$

$P$ es incluso un polinomio con grado de $2k+2$, dominante coeficiente de $(2k+1)!^{-1}$, y la constante null plazo. Además, $$mf_m(n,k)=\frac{1}{(n+1)}P((n+1)m)+\sum_{j=1}^n{\frac{P(jm)}{n+1}(-1)^{n-j+1}\binom{2n+2}{n-j+1}}.$$

Habitual polinomio magia asegura que si $P$ tiene el grado $0 \leq d \leq 2n+2$ y el coeficiente de $\alpha$ antes $X^{2n+2}$, a continuación, $$\sum_{j=0}^{2n+2}{P(j)(-1)^j\binom{2n+2}{j}}=(2n+2)!\alpha.$$

Por lo tanto, $$S_t=\sum_{j=0}^{2n+2}{(-1)^j\binom{2n+2}{j}(n+1-j)^t}$$ is $0$ if $0 \leq t < 2n+2$ and $S_{2n+2}=(2n+2)!$ de lo contrario. Como consecuencia, si $0 < t \leq n+1$, $$S'_t=\sum_{j=1}^n{(-1)^{n-j+1}j^{2t}\binom{2n+2}{n-j+1}}=\sum_{j=1}^n{(-1)^j\binom{2n+2}{j}(n+1-j)^{2t}}=\frac{1}{2}\left(S_{2t}-2(n+1)^{2t}\right),$$ thus $S'_t=-(n+1)^{2}$ if $0 < t \leq n$, and $S'_{n+1}=(2n+2)!/2-(n+1)^{2}$.

En particular, con la anterior $P(X)=\prod_{i=0}^k{(X^2-i^2)}$si $k < n$, a continuación, $\sum_{j=1}^n{\frac{P(jm)}{n+1}(-1)^{n-j+1}\binom{2n+2}{n-j+1}}=-\frac{P((n+1)m)}{n+1}$, QED.

Cuando $k=n$, a continuación, $\sum_{j=1}^n{\frac{P(jm)}{n+1}(-1)^{n-j+1}\binom{2n+2}{n-j+1}}=-\frac{P((n+1)m)}{n+1}+\frac{1}{n+1}\frac{(2n+2)!m^{2n+2}}{(2k+1)!/2}$, QED de nuevo.