Ley de los senos: uniforme de la prueba de Euclides, esférica y hiperbólico de los casos

Question

Hay una formulación unificada de la ley de los senos, lo cual es cierto en todos los 3 de curvatura constante de geometrías (Euclidiana, esférico, hiperbólico): $$ \frac{l(a)}{\sin\alpha}= \frac{l(b)}{\sin\beta}= \frac{l(c)}{\sin\gamma}, $$ donde $l(r)$ es la circunferencia de un círculo de radio $r$.

Hay un 'uniforme', la prueba de que funciona en todos los 3 geometrías?

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Comentarios y pensamientos

1. Por supuesto, esférica ley de los senos implica Euclidiana ley, tomando límite de $R\to\infty$ e hiperbólicos ley por la continuación analítica. Se puede argumentar que este es un unificada de la prueba. Sin embargo, sería bueno tener un argumento aplicable en cada uno de los 3 geometrías.
2. Un enfoque es tratar de encontrar un sentido geométrico de esta relación. La respuesta en la distancia Euclídea caso es bien conocido ($\approx$circunradio), pero parece que la respuesta no es sencilla, ya sea en hiperbólico o esférica caso.
3. En todos los 3 geometrías de la ley de los senos puede ser deducido a partir de la ley de los cosenos. Por desgracia (1) no sé una buena formulación unificada de la ley de los cosenos; (2) esta deducción utiliza algunos no muy esclarecedor de computación que por arte de magia, se relaciona con una totalmente diferente para el cálculo de la circunferencia de un círculo a dar a la formulación unificada se mencionó anteriormente...

Answer 1

Estrictamente hablando, no es sólo una aproximación a un uniforme de la prueba, que es la dada por Elemental de la Geometría Diferencial , Christian Bär, páginas 201-209. Este enfoque se basa en la geometría de Riemann.

La imposibilidad de venir para arriba con una 'regla y compás' uniforme prueba de ello es que el teorema de Pitágoras se expresa en esencial diferentes maneras:

• La geometría euclidiana: $a^2+b^2=c^2$

• La geometría esférica: $\cos(a)\cos(b)=\cos(c)$

• Geometría hiperbólica: $\cosh(a)\cosh(b)=\cosh(c)$

Es cierto que podemos derivar las siguientes fórmulas para rectangular de triángulos:

• La geometría euclidiana: $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$

• La geometría esférica: $\sin(\alpha)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}$

• Geometría hiperbólica: $\sin(\alpha)=\frac{\sinh(a)}{\sinh(c)}$

y, a continuación, la prueba usual de la regla del seno se aplica a los otros dos casos (sólo dividir un triángulo en dos rectagle por una altitud), pero mientras que $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ es una definición, las otras dos expresiones han de encontrarse en una manera diferente.