Suma de recíprocos de productos.

Question

Estamos dado un conjunto de números naturales de 2, 3, 4, ..., n. Considerar todos los subconjuntos, cada uno de ellos consta de las combinaciones de $_{(n-1)}C_{2}$, $_{(n-1)}C_{3}$, $_{(n-1)}C_{4}$ etc. Tomamos los productos de los términos en cada subconjunto y, a continuación, sus recíprocos. Encontrar la suma de todos estos recíprocos.

Creo que debemos encontrar una fórmula recursiva pero no tengo idea de cómo proceder...

He intentado para n=4 y n=5 y se encontró 5/12 y 86/120, respectivamente, pero no sé cómo continuar. Por ejemplo, para n=4: consideremos el conjunto {2,3,4}. Luego tenemos a los subconjuntos de {2,3}, (2,4), (3,4), (2,3,4) y sus respectivos elementos' los productos son de 6, 8, 12 y 24. A continuación, tomamos $\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}$ y agregarlos. El resultado es $\frac{10}{24}$.

También se dio cuenta que para cada fracción, el producto del numerador y el denominador es igual a n!.

Answer 1

Deje $x_n$ denotar su suma de los recíprocos de todos los productos de subconjuntos de $\{ 2, \ldots, n \}$ con al menos 2 elementos. Entonces $$ x_n + \left( \frac 12 + \ldots + \frac 1n \right) $$ es la suma de los recíprocos de todos los productos de no vacía de subconjuntos de $\{ 2, \ldots, n \}$, y $$ \frac 11 + 2 x_n + 2 \left( \frac 12 + \ldots + \frac 1n \right) $$ es la suma de los recíprocos de todos los productos de no vacía de subconjuntos de $\{ 1, \ldots, n \}$. De acuerdo a Demostrar que la suma de los recíprocos de los productos es igual a $n$ que suma es exactamente $n$, por lo tanto $$ x_n = \frac 12 (n-1) - \left( \frac 12 + \ldots + \frac 1n \right) = \frac 12 (n+1) - H_n $$ donde $H_n$ es el $n^\text{th}$ número armónico.