Estudie la continuidad de$f(x) = |x|$ para$x\in\Bbb R \setminus \Bbb Q$,$f(x) = \frac{qx}{q+1}$ para$x\in\Bbb Q$.

Question

Estudio de la continuidad de la siguiente función: $$ f(x) = \begin{cases} |x|,\ \text{if %#%#% is irrational}\\ \frac{qx}{q+1},\ \text{if}\ x = {p\over q}, q\in\Bbb N, p\in\Bbb Z, p\perp q \end{casos} $$

He estado recientemente el estudio de algunas funciones similares. El truco habitual era la de considerar diferentes secuencias de $x$ y, a continuación, estudiar el comportamiento de $x_n$ como $f(x)$ enfoques algún punto de $x_n$.

Yo no era capaz de aplicar el mismo truco para esta función, pero aquí algunos intuición sin embargo, lo que quiero formalizar de alguna manera. Si tomamos cualquier secuencia $x_0$ de los números irracionales, tales que: $$ \lim_{n\to\infty}x_n = x_0 $$ Entonces: $$ \forall x_n \en\Bbb R\setminus \Bbb P:f(x_n) = |x_n| $$ En tal caso: $$ \lim_{n\to\infty} f(x_n) = |x_0| $$

Así que parece que la función es continua en todos los irracionales punto.

Para la racional, yo estaba tratando de utilizar un enfoque similar. Deje $\{x_n\}_{n\in\Bbb N}$ ser una secuencia de números racionales tales que para $\{y_n\}$ e $y_n \in\Bbb Q$: $$ \lim_{n\to\infty}y_n = y_0 $$ Pero: $$ \lim_{n\to\infty}f(y_n) \ne f(y_0) = |y_0| $$

Ahora cada vecindad de un punto dado en el $y_0\in\Bbb R\setminus\Bbb Q$ contiene una infinidad racionales y irrationals. Así, podríamos aproximar $\Bbb R$ con puntos de $y_0$ acerca más y más a $y_n$ por lo que si introducimos una $y_0$ denotando consiguiente denominadores de $\{q_n\}$ , a continuación, va a crecer y, finalmente: $$ \lim_{n\to\infty}{q_n\sobre q_n + 1} = 1 $$

Por lo que parece cada racional point es un punto de discontinuidad removible en menos de $p\over q$. Mi problema es con la implantación de una rigurosa prueba de que detrás de la intuición.

Podría usted por favor me ayude con eso?

Answer 1

Reclamo:$\;f\;$es continua en $x=a$ si y sólo si $a=0$ o $a$ es positivo número irracional.

Prueba:

Fix $a\in\mathbb{R}$, y supongamos $(x_n)$ es una secuencia infinita de números racionales tales que

• ${\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n=a}}$$\\[4pt]$
• $x_n\ne a$, para todos los $n$.

Para cada entero positivo $n$, escribir $x_n={\large{\frac{p_n}{q_n}}}$ donde $p_n,q_n$ son relativamente primos enteros, y $q_n > 0$.

Para cada entero positivo $d$, vamos a $S_d$ el conjunto de los enteros positivos $n$ tal que $q_n=d$.

Supongamos $S_d$ es infinito, para algunos $d$.

Pero la secuencia de $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy (ya que converge), por lo tanto para suficientemente grande $m,n\in S_d$, debemos tener $|x_m-x_n| < {\large{\frac{1}{d}}}$. Pero esto es imposible, a menos que $x_m=x_n$.

De ello se desprende que el infinito larga de $(x_n)$ con $n\in S_d$ es el tiempo constante, con el valor de la constante $c$ decir. Pero entonces, dado que la secuencia de $(x_n)$ converge a $a$, debemos tener $c=a$, contrario a la suposición de que $x_n\ne a$, para todos los $n$.

Por lo tanto, $S_d$ debe ser finito.

Por lo tanto, para cualquier entero positivo $d$, hay en la mayoría de los finitely enteros positivos $n$ tal que $q_n =d$.

De ello se desprende que $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}q_n=\infty}$, por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty}f(x_n) = \lim_{n\to\infty}\frac{q_nx_n}{q_n+1} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{q_n}{q_n+1}\right)x_n = \lim_{n\to\infty}x_n = un $$

Como consecuencia, si $f(a)\ne a$, luego $$ \lim_{n\to\infty}f(x_n) = un \ne f(a) $$ por lo $f$ no es continua en $x=a$.

Supongamos $a$ es un número racional distinto de cero.

Escribir $a=\frac{p}{q}$, donde $p,q$ son relativamente primos enteros, y $q > 0$.

A continuación, $f(a) = \left({\large{\frac{q}{q+1}}}\right)a\ne a$, lo $f$ no es continua en $x=a$.

El próximo supongamos $a$ es un negativo de número irracional.

A continuación, $f(a) = |a| \ne a$, lo $f$ no es continua en $x=a$.

Por lo tanto si $a < 0$ o si $a$ es un número racional positivo, $f$ no es continua en $x=a$.

El próximo supongamos $a=0$ o $a$ es positivo número irracional.

Tenga en cuenta que ambos casos, tenemos $f(a)=a$.

Queremos mostrar que en ambos casos, $f$ es continua en $x=a$.

Deje $(w_n)$ ser una secuencia de números reales tales que

• ${\displaystyle{\lim_{n\to\infty}w_n=a}}$$\\[4pt]$
• $w_n\ne a$, para todos los $n$.

Si la secuencia de $(w_n)$ tiene sólo un número finito de irracional términos, como se ha mostrado anteriormente, hemos $$ \lim_{n\to\infty}f(w_n) = un = f(a) $$ y si la secuencia de $(w_n)$ tiene sólo un número finito de términos racionales, entonces tenemos $$ \lim_{n\to\infty}f(w_n) = \lim_{n\to\infty}|w_n| = |a| = un = f(a) $$ Por último, si la secuencia de $(w_n)$ tiene un número infinito de términos racionales e infinitamente muchos irracional de los términos, ya que $$\lim_{n\to\infty}f(w_n)=a$$ en cada uno de esos dos subsecuencias, se sigue que $$\lim_{n\to\infty}f(w_n)=a$$ para el conjunto de la secuencia de $(w_n)$.

Por lo tanto, hemos $$\lim_{n\to\infty}f(w_n)=a=f(a)$$ por lo $f$ es continua en $x=a$.

Esto completa la prueba.

Answer 2

$f$ es continua exactamente en $\{0\} \cup (\langle 0, \infty\rangle \setminus \mathbb{Q})$.

• Deje $x < 0$ racional. Luego de una secuencia de números irracionales $(x_n)_n$ convergentes a $x$ tenemos $f(x_n) = |x_n| \to |x| \ne f(x)$ porque $f(x) < 0$ lo $f$ no es continua en $x$.
• Deje $x < 0$ irracional. Luego de una secuencia de números racionales $(x_n)_n$ convergentes a $x$ tenemos $f(x_n) \not\to |x| = f(x)$ porque $f(x_n) < 0$ para todos los $n \in \mathbb{N}$ lo $f$ no es continua en $x$.
• Deje $x > 0$ racional. Escribir $x = \frac{p}{q}$ con $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, \gcd(p,q) = 1$. Luego de una secuencia de números irracionales $(x_n)_n$ convergentes a $x$ hemos $$f(x_n) = |x_n| \to |x| = \frac{p}{q} \ne \frac{p}{q+1} = f(x)$$ por lo $f$ no es continua en $x$.
• Deje $x = 0$. Observe que $|f(x)| \le |x|$ para todos los $x \in \mathbb{R}$ la continuidad en $0$ sigue.

• Deje $x > 0$ irracional. Observe que para cualquier intervalo de $I \subseteq \mathbb{R}$ y cualquier $N \in \mathbb{N}$ hay sólo un número finito de números racionales $\frac{p}{q}$ de la forma $p\in\mathbb{Z}, 1 \le q \le N, \gcd(p,q) = 1$ dentro $I$.

  Deje $\varepsilon > 0$ y deje $N \ge \frac{x+\frac\varepsilon2}{\frac\varepsilon2}$. Set $\delta > 0$como $$\delta := \min\left\{\min_{\substack{p \in \mathbb{N}, 1 \le q \le N, \\\gcd(p,q) = 1, \frac{p}q \in \left\langle \frac{x}2, \frac{3x}2\right\rangle}} \left|x-\frac{p}q\right|, \frac{x}2, \frac\varepsilon2\right\}$$

  A continuación, para $\left|x-\frac{p}{q}\right| < \delta$ tenemos $q \ge N+1$ e $\frac{p}{q} < x+\delta \le x+\frac\varepsilon2$así $$\left|f(x) - f\left(\frac{p}{q}\right)\right| = \left|x-\frac{p}{q+1}\right| \le \left|x-\frac{p}{q}\right| + \frac{p}{q(q+1)} < \frac\varepsilon2 + \frac{x+\frac\varepsilon2}{q+1} \le \frac\varepsilon2 + \frac{x+\frac\varepsilon2}{N} \le \varepsilon$$ Además, si $|x-y| < \delta$ para $y$ irracional, a continuación, $|f(x) - f(y)| = |x- y| < \frac\varepsilon2 < \varepsilon$. Llegamos a la conclusión de que $f$ es continua en $x$.