¿Existe una familia contable de subconjuntos abiertos de ${\bf R}$ o $[0,1]$ ¿que cada racional pertenezca sólo a un número finito de conjuntos abiertos y que cada irracional pertenezca a un número infinito de conjuntos?
Respuestas
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Sí. Podemos tomar los muchos intervalos abiertos contables con centro racional $\frac ab$ y el radio $\frac1{b^2}$ , $$U_{a,b}:=\left]\frac ab-\frac1{b^2},\frac ab-\frac1{b^2}\right[,$$ con $a\in\Bbb N_0$ , $b\in \Bbb N$ , $a\le b$ , $\gcd(a,b)=1$ .
Si $\frac ab\in[0,1]$ es racional, entonces la distancia a cualquier otro racional $\frac cd$ es al menos $\frac1{bd}$ y esto es $>\frac1{d^2}$ para casi todos los $\frac cd$ Por lo tanto $\frac ab\in U_{c,d}$ como máximo para los casos finitos en los que $0\le c\le d\le b$ .
Por otro lado, si $\alpha\in[0,1]$ es irracional, entonces encontramos infinitas $a,b,c,d$ con $$\tag1\frac ab<\alpha<\frac cd\quad\text{and}\quad ad-bc=-1, \text{ i.e., }\frac cd-\frac ab=\frac1{bd}-$$ Más concretamente, podemos tomar $(a_0,b_0,c_0,d_0)=(0,1,1,1)$ y si tenemos $(a_n,b_n,c_n,d_n)$ tal que $(1)$ se mantiene, entonces $(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1}):=(a_n,b_n,a_n+c_n,b_n+d_n)$ o $(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1}):=(a_n+c_n,b_n+d_n,c_n,d_n)$ funciona como siguiente opción, dependiendo de si $\alpha<\frac{a_n+c_n}{b_n+d_n}$ o $\alpha>\frac{a_n+c_n}{b_n+d_n}$ (la igualdad no puede darse) Como $$\frac cd-\frac ab=\frac 1{bd}<\frac1{b^2}+\frac 1{d^2},$$ concluimos que $$\tag2\alpha\in U_{a_n,b_n}\cup U_{c_n,d_n}$$ para cada una de nuestras tuplas. Y como $\frac1{b_nd_n}\to 0$ tenemos ambos $\frac{a_n}{b_n}\to \alpha$ y $\frac{c_n}{d_n}\to \alpha$ Por lo tanto, no $U_{a_n,b_n}$ o $U_{c_n,d_n}$ ocurre infinitamente a menudo en $(2)$ .
Uso alternativo de la misma idea, pero quizás con una prueba más bonita:
Por cada cuádruple $(a,b,c,d)\in\Bbb N_0^4$ con $b,d\ge1$ y $ad-bc=-1$ dejar $$U_{a,b,c,d} =\left]\frac ab,\frac cd\right[.$$ Supongamos que $\frac xy$ es un número racional en $U_{a,b,c,d}$ . Entonces, desde $\frac ab<\frac xy$ tenemos $\frac xy-\frac ab=\frac{bx-ay}{by}>0$ por lo que para el numerador $bx-ay\ge 1 $ y de forma similar encontramos $yc-xd\ge1. $ Por lo tanto, $$y=(bc-ad)y=d(bx-ay)+b(yc-xd)\ge b+d.$$ Se deduce que un número racional $\frac xy\in[0,1]$ sólo puede estar en el número finito de $U_{a,b,c,d}$ con $b+d\le y$ , $0\le a<b$ , $1\le c\le d$ .
Por otro lado, cada irracional $\alpha\in[0,1]$ es ciertamente $\in U_{0,1,1,1}$ . Si sólo hubiera un número finito de estos conjuntos abiertos que contienen $\alpha$ , entonces habría uno con el máximo $b+d$ . Pero se comprueba que $$U_{a,b,c,d}=U_{a,b,a+c,b+d}\cup U_{a+c,b+d,c,d}\cup\left\{\frac {a+c}{b+d}\right\} $$ y por lo tanto $\alpha$ debe estar en uno de los intervalos de la derecha, contradiciendo la maximalidad.
bof
Puntos
19273
Es un hecho (que no voy a utilizar salvo como motivación) que dos subconjuntos densos contables cualesquiera de $\mathbb R$ son "equivalentes" en el sentido de que existe un homeomorfismo de $\mathbb R$ con sí mismo que mapea uno a otro. Por lo tanto, si la afirmación que se quiere demostrar es verdadera, sigue siendo verdadera si el conjunto $\mathbb Q$ de todos los números racionales se sustituye por cualquier otro subconjunto denso contable de $\mathbb R$ . De ahí que parezca natural buscar una prueba que sea teórica de conjuntos y no aritmética.
De hecho, el conjunto ni siquiera tiene que ser denso; si $A$ es cualquier subconjunto contable de $\mathbb R$ hay una familia contable $\mathcal U$ de conjuntos abiertos tal que ningún elemento de $A$ pero cada elemento de $\mathbb R\setminus A$ pertenece a infinitos miembros de $\mathcal U$ .
Caso 1. $A$ es finito.
Dejemos que $U$ sea la colección de todos los intervalos racionales abiertos que son disjuntos de $A$ .
Caso 2. $A$ es contablemente infinito.
Dejemos que $A=\{a_n:n\in\mathbb N\}$ (enumerados sin repetición) y que $\mathcal U=\{U_n:n\in\mathbb N\}$ donde $U_n=\mathbb R\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$ .
La afirmación sigue siendo cierta, pero algo menos trivial, si se quiere que los miembros de $\mathcal U$ para ser intervalos abiertos acotados. Supongamos que $A=\{a_n:n\in\mathbb N\}$ . Sea $$\mathcal U=\mathcal W\cup\bigcup_{n\in\mathbb N}\mathcal V_n$$ donde $\mathcal W$ es el conjunto de todos los intervalos racionales abiertos disjuntos de $A$ y $\mathcal V_n$ es el conjunto formado por las componentes acotadas de $\mathbb R\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$ junto con los intervalos $(L_n-1,L_n)$ y $(R_n,R_n+1)$ donde $L_n=\min\{a_1,\dots,a_n\}$ y $R_n=\max\{a_1,\dots,a_n\}$ . Es fácil ver que $\{U\in\mathcal U:x\in U\}$ es finito si $x\in A$ , infinito si $x\notin A$ .
