Conjetura: "Para cada prima$k$ habrá al menos una prima del formulario$n! \pm k$" ¿verdad?

Question

El uso de PARI/GP, he buscado por los números primos de la forma $n!\pm k$ donde $k \ne 2$ es el primer y $n\in \Bbb{N}$.

Con la ayuda de usuario de Pedro, hemos cubierto un rango de $k \le 10^7$ , y no podía encontrar un primer $k$ para que $n!\pm k$ no tiene números primos.

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Observaciones:

$(1)$ Cuando $n \ge k$, $n! \pm k$ no puede ser un primo como $k$ será un factor de $n! \pm k$. Esto significa que hay un número finito de números primos de la forma $n! \pm k$ por cada $k$.

$(2)$ Como $k$ aumenta, el número de números primos de la forma $n!\pm k$ también parece aumentar. La razón de esto es que como $k$ aumenta, el número de $n$ para que $n!\pm k$ puede ser prime también aumenta a medida que todos los $n \lt k$ puede dar prime $n!\pm k$.

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Para aquellos que quieren llevar adelante lo que se busca aquí es el PARI/GP código:

for(k=1, 10^4,b=0; for(n=1, prime(k), if(ispseudoprime(n!+prime(k))==1, b=b+1)); print([prime(k), b]))

La primera columna de la salida se dará a las $k$ y la segunda columna el número de veces que $n!+k$ es el primer para $k$. Estas son las primeras líneas de salida:

[2, 1]
[3, 1]
[5, 3]
[7, 4]
[11, 5]
[13, 3]
[17, 6]
[19, 7]

Para el resto de la salida calculada hasta ahora, haga clic aquí.

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Pregunta:

Es allí cualquier prime $k\ne 2$ para los que no existen números primos de la forma $n!\pm k$?

Answer 1

Bajo el modelo aleatorio para los números primos puedo encontrar la probabilidad de que hay un primer $n!+k$ es acerca de $a_k= \prod_{n=1}^k (1-\frac{\ln (n!+k)}{n!+k})$ y la probabilidad de que para algunos $K\ge K_0$ no hay prime $n!+K$ es $$f(K_0)=\sum_{K\ge K_0} (1-a_K)\prod_{k=K_0}^{K-1} a_k $$ Luego debemos calcular $a_k$ e $f(K_0)$, el azar modelo dice que su conjetura tiene una oportunidad de mantener sólo si $\lim_{K_0 \to \infty} f(K_0)=0$, de lo contrario $\forall K_0, f(K_0) = 1$ y bajo el modelo aleatorio para algunos $k$ no hay prime $n!+k$ casi seguramente.

Answer 2

No estoy seguro, pero parece que si la ecuación diofántica en $4$ variables $$p^2-3p+2=\sum_{j=2}^{p-1}(4b_jc_j+2b_j+2c_j-j!)$$ does not have solutions with the conditions $ p \ geq 7$ and $ b_j, c_j \ in \ mathbb N$ and $ 4b_jc_j +2b_j +2c_j-j!> 0$ for $ j = 2, ..., p-1$ then you should have a prime in the set $ \ {2! + P, ..., (p-1) ! + p \} $

Este comentario-respuesta se puede usar para justificar algunos comentarios de que su conjetura podría ser difícil.