¿Cuál es la forma cerrada de la siguiente función recursiva?

Question

$f(1)=1$

$f(2)=7$

Para $n\ge 3$ tenemos $$f(n)=7f(n-1)-12f(n-2)

He intentado desenrollarlo pero se complica muy rápidamente sin que surja un patrón claro. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Escribir $a_n = f(n)$ lugar.

• Paso 1

Usted puede notar que $$a_{n+1}-4a_n = 3(a_n-4a_{n-1})$$ so putting $b_n=a_n-4a_{n-1}$ you get $$b_{n+1} = 3b_n$$ so $b_n$ is geometric progression, with $b_2=3$ so $b_1=1$ and thus $$b_n = 3^{n-1}$$ so $$\boxed{a_{n+1}-4a_n =3^n}$$

• Paso 2

También se puede observar que $$a_{n+1}-3a_n = 4(a_n-3a_{n-1})$$ so putting $c_n=a_n-3a_{n-1}$ you get $$c_{n+1} = 4c_n$$ so $c_n$ is geometric progression, with $c_2=4$ so $c_1=1$ and thus $$c_n = 4^{n-1}$$ so $$\boxed{a_{n+1}-3a_n = 4^{n}}$$

• Paso 3

Si se restan las fórmulas en las cajas que se obtiene:

$$\boxed{a_n = 4^{n}- 3^n}$$

Answer 2

La ecuación característica es $x^2-7x+12=0$, que factores como $(x-3)(x-4)=0$, produciendo dos raíces, 3 y 4. Por lo $f(n)=a\cdot 3^n+b\cdot 4^n$ para algunas constantes $a$ e $b$. Ahora el uso de los valores de $f(1)$ e $f(2)$ a resolver para $a$ e $b$.

Answer 3

Por desgracia, yo no sé lo que su formación matemática es saber si esto es una respuesta útil, pero lo voy a publicar en aras de la exhaustividad.

Lo que tienen es una lineal constante coeficiente diferencia de la ecuación.

Hay un montón de maneras de resolverlos, algunos especializados, pero la costumbre genérico es álgebra lineal:

$$\begin{align*} \overbrace{\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ a_{n\phantom{+1}} \end{bmatrix}}^{x_{n+1}} &= \overbrace{\begin{bmatrix} 7 & -12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^Un \overbrace{\begin{bmatrix} a_{n\phantom{-1}} \\ a_{n-1} \end{bmatrix}}^{x_n} \\ &= \begin{bmatrix} 7 & -12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Ahora desea calcular $A^{n-1}$, para que te diagonalize $A$ y obtener

$$\begin{align*} A^n = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$

que puede sustituir a la obtención $a_{n+1}$.

Answer 4

Añadido a petición de Mehrdad.

Decir que hemos $$\boxed{a_{n+1} = (x+y)a_n-xya_{n-1}}$$ then we can do: $$a_{n+1}-xa_n = y(a_n-xa_{n-1})$$ and $$a_{n+1}-ya_n = x(a_n-ya_{n-1})$$

Poner a $\boxed{b_n =a_n-xa_{n-1}}$ e $\boxed{c_n = a_n-ya_{n-1}}$ podemos terminar como antes.

En general $x,y$ son solución de la ecuación cuadrática (característica) de la ecuación de $t^2-pt-q=0$ de la recursividad $$a_{n+1} = pa_n+qa_{n-1}$$

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Un ejemplo más: $$a_{n+1} = 2a_n+8a_{n-1}.$$ Then we can do $$a_{n+1}+2a_n = 4(a_n+2a_{n-1})$$ and $$a_{n+1}-4a_n = -2(a_n-4a_{n-1})$$

A continuación, con $b_n =a_n+2a_{n-1}$ e $c_n = a_n-4a_{n-1}$ hemos terminado...