¿Cómo sabemos que$\sin$ y$\cos$ son las únicas soluciones para$y'' = -y$?

Question

Según Wikipedia, una forma de definir las funciones seno y coseno es como las soluciones a la ecuación diferencial $y'' = -y$ .

¿Cómo sabemos que el pecado y el cos (y las combinaciones lineales de ellos, para incluir $y=e^{ix}$ ) son las únicas soluciones a esta ecuación?

Parece que una combinación inteligente de polinomios inversos o exponenciales podría hacer lo mismo.

Answer 1

Una manera de mostrar la singularidad es la siguiente:

$\textbf{Theorem:}$ Un segundo orden de la ecuación diferencial de la forma $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ tiene más de dos soluciones linealmente independientes.

$\text{Sketch of Proof: }$ 1) Definir el Wronskian determinante $\det W_3$ donde:$$W_3=\begin{bmatrix}y_1 &y_2 &y_3\\y_1' &y_2' &y_3'\\y_1'' &y_2'' &y_3''\end{bmatrix}$$ Here the $y_i$'s de resolver la citada ecuación.

2) Demostrar que

$$\exists ~c_i:\sum_{i=1}^3c_iy_i=0\iff \det W_3=0$$

3) Dado que el $y_i''=-P(x)y_i'-Q(x)y_i$, la línea 3 es una combinación lineal de las líneas 1 y 2. Así, la matriz no tiene columna completa en la clasificación y es el determinante es cero, y por lo tanto los 3 funciones deben ser linealmente dependientes.

Usted puede utilizar este teorema siguiente: Si usted encuentra dos soluciones linealmente independientes de un lineal de segundo orden de la educación a distancia, a continuación, cada una de las soluciones para que la educación a distancia puede ser expresado como una combinación lineal de los dos. En su caso, usted sabe $\sin x, \cos x$ son soluciones y necesitas buscar más, ya que son linealmente independientes (calcular el $W_2$ y es distinto de cero).

Para el caso particular considerado, también se puede resolver la ecuación usando cuadratura y obtener una solución general que se parece a $y(x)=C_1\sin x+C_2 \cos x$.

Answer 2

Sin la necesidad de otro tipo de tecnología, se sigue del teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales (de Cauchy-Lipschitz, o de Picard-Lindelöf, según las fuentes) en $\mathbb{R}^n$. Escribir el sistema en la forma linealizada $$ \begin{cases} y'=z\\ z' = -y \end{casos} $$ (esto es claramente equivalente a $y''=-y$, después de la introducción de una variable auxiliar).

Deje $y(x)$ (junto con $z(x)=y'(x)$) ser de cualquier solución de este sistema de ecuaciones diferenciales con valores iniciales $y(0)=y_0,z(0)=z_0$.

Entonces, usted puede encontrar $c_1,c_2$ tales que la función de $\hat{y}(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x$ resuelve la ecuación diferencial y tiene las mismas condiciones iniciales $\hat{y}(0)=y_0, \hat{y}'(0) = z_0$. Por lo tanto, por el teorema de unicidad, $y(x)=\hat{y}(x)$, que es el resultado que necesita.

Answer 3

A partir de $y'' = -y$, podemos agregar $y$ a del formulario

$$y'' + y = 0$$

Este es homogénea de segundo orden de la ecuación diferencial lineal que podemos simplificar al escribir el polinomio característico como

$$r^2 + 1 = 0$$

o

$$r = \pm i$$

que son distintas de las raíces. La solución general se puede escribir como

$$y(x) = c_1\sin(x) + c_2\cos(x)$$

Esto nos dice que $y_1 = \sin(x)$ es una solución y así es cualquier constante múltiples, tales como $c_1\sin(x)$. Del mismo modo, $y_2 = \cos(x)$ es otra solución (y lo es cualquier función de la forma $c_2\cos(x)$). Así, por el principio de superposición, podemos agregar $c_1\sin(x)$ e $c_2\cos(x)$ a la forma de la solución general.

Como cualquier combinación lineal de $c_1\sin(x)$ + $c_2\cos(x)$ obras, es claro que $\sin(x)$ e $\cos(x)$ no puede ser la única solución.

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Principio de Superposición: Si $y_1$ e $y_2$ son cualquiera de las dos soluciones de la ecuación homogénea $y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0$. Entonces cualquier función de la forma $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ es también una solución de la ecuación, para cualquier par de constantes $c_1$ e $c_2$.

Comentario: sin Embargo, mientras que la solución general de la $y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0$ siempre será en forma de $c_1 y_1 + c_2 y_2$, donde $y_1$ e $y_2$ son algunas de las soluciones de la ecuación, lo contrario no siempre es cierto. No todos los pares de soluciones de $y_1$ e $y_2$ podría ser utilizado para dar una solución general en la forma $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$.

Se puede alegar que $\sin(x)$ e $\cos(x)$ son las únicas soluciones. En su lugar, usted debe centrarse en las combinaciones lineales de estos:

$$ y_1 = \cos(x)$$ $$ y_2 = \sin(x)$$ $$ y_3 = \sin(x) + \cos(x)$$ $$ y_4 = 2\sin(x) + 3\cos(x)$$ $$ y_5 = \sin(x) + i\cos(x)$$ $$ y_6 = 10\sin(x) - 11i\cos(x)$$

entre muchos otros, donde $y_i = c_1\sin(x) + c_2\cos(x)$ constante $c_1,c_2$.

Answer 4

Si usted se siente cómodo con las exponenciales de los lineales de mapas y matrices, a continuación, esta respuesta podría ser útil.

Teorema: Vamos a $A \in M_{n \times n}(\Bbb{R})$ una $n \times n$ matriz, y considere la ecuación diferencial $\xi' = A \xi$. A continuación, cada una de las soluciones $f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}^n$ de esta ODA es de la forma \begin{align} f(t) = \exp(tA) \cdot \eta \end{align} para algunos $\eta \in \Bbb{R}^n$. (la $\cdot$ que aparece aquí es la multiplicación de la matriz)

Hay un par de hechos que usted necesita saber. La primera es que para cualquier $t \in \Bbb{R}$, la matriz de $\exp(tA)$ es invertible y su inversa es $\exp(-tA)$. Así que, para demostrar este teorema, vamos a $f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}^n$ ser cualquier solución a lo anterior la educación a distancia. Definir una nueva función $g: \Bbb{R} \to \Bbb{R}^n$por \begin{align} g(t) = \exp(-tA) \cdot f(t) \end{align} Ahora, usted necesita saber un poco sobre el cálculo multivariable y el "generalizada producto de la regla", y usted también necesita saber cómo diferenciar la matriz de las exponenciales. Los resultados son prácticamente los mismos que en una sola variable de cálculo, pero sus pruebas requieren un poco más de atención. Tenemos que por cada $t \in \Bbb{R}$, \begin{align} g'(t) &= \left(\exp(-tA) \cdot (-A) \right) \cdot f(t) + \exp(-tA) \cdot f'(t) \\ &= - \exp(-tA) \cdot A \cdot f(t) + \exp(-tA) \cdot \left(A \cdot f(t) \right) \\ &= 0 \tag{%#%#%} \end{align} En la primera línea he utilizado el producto de la regla y de la regla para la diferenciación de la matriz de las exponenciales. En la segunda línea, he utilizado el hecho de que $\ddot{\smile}$ (por supuesto).

Ahora, $f' = A \cdot f$ dice que la derivada de $(\ddot{\smile})$ siempre $g$. Por lo tanto, (por el corolario de la media del valor de la desigualdad) no es un vector $0$ tal que para todos los $\eta \in \Bbb{R}^n$, \begin{align} g(t) = \eta \tag{%#%#%} \end{align} En otras palabras, hemos demostrado que $t \in \Bbb{R}$ es una función constante. Multiplicando ambos lados de $*$ por $g$ inmediatamente nos da que para todos los $(*)$, $\exp(tA)$, que es lo que queríamos demostrar.

Si este es desconocido, que me sugieren, considere el caso especial $t$, por lo que no hay matrices, y todo es simplemente la multiplicación por números reales.

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Para aplicar este resultado general a su pregunta específica, tomamos $f(t) = \exp(tA) \cdot \eta$, y considerar la ODA $n=1$, donde $n=2$ es el $\xi' = A \xi$matriz \begin{align} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} Si usted escribe la ecuación de $A$ en componentes, obtenemos \begin{align} \begin{cases} \xi_1' &= \xi_2 \\ \xi_2' &= -\xi_1 \end{casos} \end{align} La diferenciación de la primera vez, y sustituyendo en la segunda nos da $2 \times 2$, que es exactamente lo que usted pidió (que acaba de escribir $\xi' = A \xi$ lugar). A veces es útil considerar un segundo orden de la educación a distancia como 2 de primer orden de la educación a distancia es como lo he hecho yo.

Por lo que he demostrado anteriormente, sabemos que cada una de las soluciones a esta ODA es de la forma $\xi_1'' = -\xi_1$, para algunas de las $y'' = -y$. Se puede comprobar que la matriz exponencial en este caso está dada por \begin{align} \exp \begin{pmatrix} 0 & t \\ -t & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \end{align}

Por lo tanto, la multiplicación de la solución da \begin{align} \begin{pmatrix} \xi_1(t) \\ \xi_2(t) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \eta_1 \cos(t) + \eta_2 \sin(t) \\ -\eta_1 \sin(t) + \eta_2 \cos(t) \end{pmatrix} \end{align}

Por lo tanto, la solución a $\exp(tA) \cdot \eta$ (que me perdone, pero en mi notación es $\eta \in \Bbb{R}^2$) está dada por una combinación lineal de senos y cosenos: \begin{align} \xi_1(t) = \eta_1 \cos(t) + \eta_2 \sin(t), \end{align} para algunos $y'' = -y$.

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Para aprender acerca de la matriz de exponenciales y sus propiedades, y cómo calcularlos, le sugiero que eche un vistazo a Hirsch y Smale del libro "Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal".

Answer 5

Intuitivamente, podemos decir que el $sin(x)$ e $cos(x)$ y todos sus múltiplos y de las combinaciones lineales sería parte de la solución, ya que la diferenciación de dos veces nos da lo mismo. E. g -> $$(sin(x))''=-sin(x)$$ and $$(cos(x))''=-cos(x)$$ Pero sugiere usted que las funciones de la forma $y = \frac{1}{g(x)}$ puede ser posible, donde las $g(x)$ es un polinomio de grado $>=2$, de modo que cuando está diferenciada en dos ocasiones, la derivada no es $0$. He aquí por qué esto no es una función posible: $$y'=-\frac{g(x)'}{g(x)^2}$$ $$y''=\frac{2}{g(x)^3}-\frac{g(x)''}{g(x)^2}$$ Ahora $y''=-y$ sugiere $$-\frac{1}{g(x)}=\frac{2}{g(x)^3}-\frac{g(x)''}{g(x)^2}$$ multiplying by $g(x)^2$, $$-g(x)=\frac{2}{g(x)}-g(x)''$$ Sustituyendo $y=1/g(x)$, $$-g(x)=2y-g(x)''$$, lo que significa, $$y=\frac{g(x)''-g(x)}{2}\neq\frac{1}{g(x)}$$ Por lo tanto, este reglamento a cabo todas las funciones de la forma $y=1/g(x)$.