¿Por qué la diferenciación de un polinomio reduce su grado en $1$ ?

Question

Esto puede parecer una tontería, pero me pregunto: ¿se puede demostrar intuitivamente que la derivada de un polinomio es precisamente 1 grado menor que él mismo? Entiendo los fundamentos del cálculo lo suficiente como para apreciar las derivaciones de las derivadas y también puedo ver por qué la pendiente de muchas funciones crecientes (con muchas excepciones, por supuesto) como que crecen más lentamente que las propias funciones (a medida que x crece), pero, francamente, no tengo la visión "duh" que usted quiere tener.

De hecho, no me convence el conjunto del cálculo en sí (aunque todavía estoy en lo más básico). Sé que apenas sé nada, pero ¿alguno de vosotros (pregunta adicional) conoce algún libro/libros agradable y legible que pueda reintroducirme en la materia a un nivel más riguroso?

Answer 1

No conozco una respuesta en general. Pero un caso especial parece tener alguna intuición detrás. Un polinomio de grado n tiene n raíces. Sea nuestro caso especial cuando todas las raíces son reales y únicas. Entonces las raíces de la derivada son aquellos lugares donde el signo de la pendiente cambia y deben estar entre las n raíces. Así que parece que debe haber n-1 raíces para la derivada. También la derivada de un polinomio es un polinomio (del que sólo estoy seguro algorítmicamente), por lo que la derivada sería un polinomio de grado n-1. Espero que alguien pueda generalizar esto.

Answer 2

$p(x) = x^n$ es el $n$ -de un volumen de dimensión de un $n$ -cubo de lado $x$ .

Si añadimos una fina capa de espesor $dx/2$ en cada $n-1$ -cara del cubo, el nuevo volumen es $p(x+dx)$ .

Porque el $(n-1)$ -volumen dimensional (área si $n=3$ ) de cada cara es $x^{n-1}$ El añadido $n$ -es el volumen de la dimensión $$ p(x+dx) - p(x) \propto dx x^{n-1} $$ (RHS es sólo el espesor $\cdot$ volumen de lado), así que $$ p'(x) \propto x^{n-1}. $$

Answer 3

Me sorprende que nadie haya mencionado aún la conexión con el operador de diferencia en secuencias de la forma $P(1),$ $P(2),$ $P(3),$ $\ldots$ donde $P$ es un polinomio con coeficientes enteros.

Ejemplo 1: Consideremos la secuencia generada por $P(n) = 3n + 2,$ seguido de la secuencia generada tomando diferencias consecutivas de la secuencia original:

$$ 5, \;\; 8, \;\; 11, \;\; 14, \;\; 17, \;\; 20, \;\; 23, \;\; 26, \;\; \dots $$ $$ 3, \;\; 3, \;\; 3, \;\; 3, \;\; 3, \;\; 3, \;\; 3, \;\; \dots $$

Obsérvese que la secuencia original es generada por un $1$ grado, mientras que la secuencia de diferencias consecutivas es generada por un $0$ polinomio de grado.

Ejemplo 2: Consideremos la secuencia generada por $P(n) = n^2,$ seguida de la secuencia generada tomando diferencias consecutivas de la secuencia original, seguida de la secuencia generada tomando dos veces -diferencias consecutivas de la secuencia original:

$$ 1, \;\; 4, \;\; 9, \;\; 16, \;\; 25, \;\; 36, \;\; 49, \;\; 64, \;\; \dots $$ $$ 3, \;\; 5, \;\; 7, \;\; 9, \;\; 11, \;\; 13, \;\; 15, \;\; \dots $$ $$ 2, \;\; 2, \;\; 2, \;\; 2, \;\; 2, \;\; 2, \;\; \dots $$

Obsérvese que la secuencia original es generada por un $2$ ndo grado, la secuencia de diferencias consecutivas es generada por un $1$ de grado, y la secuencia de diferencias dos veces consecutivas es generada por un $0$ polinomio de grado.

En general, si se parte de una secuencia generada por un polinomio de grado $N$ con coeficientes enteros, entonces la secuencia generada por diferencias consecutivas es generada por un polinomio de grado $N-1$ con coeficientes enteros, la secuencia generada por diferencias dos veces consecutivas es generada por un polinomio de grado $N-2$ con coeficientes enteros, etc.

¿Qué tiene que ver esto con la diferenciación? El proceso anterior de tomar diferencias consecutivas es esencialmente el de tomar un cociente de diferencias donde la función es el polinomio que genera la secuencia original y $h=1.$ Más concretamente, la secuencia de diferencias consecutivas está generada por el polinomio $\frac{P(n+1) - P(n)}{1}.$ No, esto no es una prueba de lo que preguntas, pero es ciertamente sugestivo de que se puede esperar que la diferenciación baje el grado de un polinomio en uno.

Answer 4

De forma muy aproximada (para un polinomio ideal...):

• El número de raíces de un polinomio es su grado
• La derivada convierte los máximos/minimos locales de un polinomio en las nuevas raíces
• Entre dos raíces existe un punto máximo/mínimo, por lo que hay uno menos que raíces
• Así que tomar una derivada reduce el grado en 1