Pregunta de ecuación de Euler (equidimensional).

Question

Considere la ecuación $$x^2y''-8xy'+20y=0.$$ From an undergraduate ODE course, it is known that the two linearly are $y_1=x^5$ and $y_2=x^4$. Sin embargo, ¿por qué no considerar la posibilidad de soluciones, por ejemplo, como la siguiente: $$ y=\left\{ \begin{array}{c} x^5\;\;{\mbox{if}}\;\;x\leq 0\\ 0\;\;{\mbox{if}}\;\;x> 0. \end{array} \right. $$ Mientras que la solución anterior sólo es diferenciable 4 veces, es una perfectamente buena solución a la ecuación.

Entiendo que el punto de $x=0$ es singular y por lo tanto la unicidad teorema no se aplica allí. También esto no es exclusivo de la ecuación o que solución. El mismo tipo de soluciones puede obtenerse por otras ecuaciones con puntos singulares. El ejemplo anterior es conveniente, ya que es una simple ecuación diferencial con soluciones explícitas.

Pero mi pregunta es esta: ¿hay una razón por la que soluciones como la anterior, no se consideran? Es justo porque es demasiado complicado para ser incluido en los libros de texto? Tal vez debido a que no se extienden a las soluciones cuando la variable independiente se le permite ser complejo? O tal vez la gente rehúye a soluciones que no son lisas (es decir, no en $C^\infty$) cuando lisa soluciones existen?

Answer 1

Probablemente, la respuesta es pedagógico. Es una lástima, sin embargo, que esta idea no es, al menos, se menciona en el estándar de los libros de texto de pregrado.

He de decir, sin embargo, que usted venir a través de este tipo de solución en la mecánica cuántica. Por ejemplo, el finito plaza bien problema requiere de usted para resolver la ecuación de Schrödinger en tres regiones diferentes, y luego unirlas para conseguir la continuidad de la función de onda y sus derivados. Usted puede ver el método de solución en la wiki para el Finito potencial.

Así que sin duda hay aplicaciones para este tipo de solución.

Por cierto, lo que es particularmente interesante para mí sobre tu pregunta es que la solución que usted propone es continua en el origen, e incluso sus primeras derivadas son continuas en el origen! Así que su problema no ciertamente podría haber significado físico.