Conjuntos abiertos que tienen una intersección vacía pero la intersección de su cierre no está vacía

Question

Supongamos $V_{n}$ es una disminución de la secuencia de (bounded) abierto pone en $\mathbb{R}^{m}$ con $m\geq1$. Supongamos que la intersección de todos los $V_{n}$ está vacía, y deje $F$ ser la intersección de los cierres de $V_{n}$. Podemos decir que no existe $N$ que cada $x$ en $F$ pertenece a la frontera de $V_{n}$, para $n\geq N$?

(Esta pregunta es sugerido por la configuración de $V_{n}=(0,1/n)$)

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos $V_n$ ser la unión de un pequeño intervalo abierto alrededor de $1/m$ por cada $m>n$ y un pequeño intervalo abierto con el extremo izquierdo $1/m$ por cada $m\leq n$, los intervalos de ser lo suficientemente pequeño como para que no se superponen y la disminución de la a $0$ como $n\to\infty$. A continuación, $F=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{Z}_+\}$ pero $1/m$ es sólo en el límite de $V_n$ si $n\geq m$.