Quiero encontrar a una diferenciable $n$-dimensional compacta colector $M$ que puede ser dotado de una estructura afín, pero no puede ser dotado de una euclídea.
Un afín (resp. euclidiana) la estructura es una estructura geométrica con $X=\Bbb R^n$ e $G$ es el grupo de afines (resp. euclidiana) transformaciones de $\Bbb R^n$.
Me gustaría encontrar un colector para cada posible dimensión $n\geq 1$. Sé que en la dimensión $1$ e $2$, un colector no existe, ya que la única afín colectores en este caso, son el círculo, el toro y la botella de Klein y todos ellos son euclidiana colectores.
En la dimensión $3$, creo que $S^1\times S^2$ es un ejemplo. Es un afín colector, ya que es diffeomorphic para el cociente $$\Bbb R^3-0/x\sim 2x.$$ Sin embargo, yo realmente no sé cómo demostrar que $S^1\times S^2$ no tiene euclídea (tal vez podemos utilizar algunas teorema de Thurston acerca de las geometrías de la $3$-colectores, pero parece ser una "gran herramienta")
En la dimensión $n\geq 4$, quizás $S^1\times S^{n-1}\simeq \Bbb R^n-0/x\sim 2x$ podría ser un ejemplo, pero de nuevo no sé cómo demostrar que este colector de no admitir a un euclídea.
Hay una escuela primaria prueba de que estos compacto afín colectores no tienen euclidiana estructuras? Hay algunos de los mejores ejemplos?
Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cada Euclidiana colector $M$ admite un plano métrico de Riemann (obtenido por el pull-back de la plana métrica de Riemann en $E^n$ a través de coordenadas de los gráficos de la distancia Euclídea atlas). Si $M$ es compacto, la métrica es completa (Hopf-Rinow teorema) , por lo que es su elevación a el universal que cubre el espacio de $X$ de $M$ (ver esta pregunta). Por Cartan-Killing-teorema de Hopf, cada conecta simplemente a completar planas $n$-dimensiones del colector (como $X$) es isométrica del espacio Euclidiano $E^n$. En particular, su mayor homotopy grupos ($\pi_k(X)$, $k\ge 2$) desaparecen. Por lo tanto, sus ejemplos (cubierto por $S^{n-1}\times {\mathbb R}$, $n\ge 3$) no admitir Euclidiana estructuras desde $\pi_{n-1}\cong {\mathbb Z}$). Estos son los más sencillos ejemplos. Me pueden dar ejemplos de asféricas afín colectores de no admitir Euclidiana estructuras (es decir, producto de género 2 de superficie y el círculo), pero las pruebas son más complicadas. En lugar de mayor homotopy grupos utilizaría Bieberbach del teorema de que el grupo fundamental de cada plana de Riemann colector es prácticamente abelian.
En la respuesta supuse que usted sabe básicos de la geometría de Riemann y algunos topología algebraica; si no, sugiero do Carmo del libro "Geometría de Riemann" para la geometría de Riemann y, digamos, Hatcher, para la topología algebraica.
