¿Cómo probar que$\exp(x)$ y$\log(x)$ son inversos?

Question

¿Cómo hace uno para demostrar que la exponenciales y logarítmicas funciones son inversas utilizando las definiciones:

$$e^x= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$$ y $$\log(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$$

Mi enfoque ingenuo (una especie de ignorar los problemas de convergencia) es simplemente aplicar las definiciones de principio a fin, por lo que en una dirección que obtengo:

\begin{align}\log(e^x)&=\int_{1}^{e^x}\frac{1}{t}dt\\ &=\int_{0}^{e^x-1}\frac{1}{1+t}dt\\ &=\int_0^{e^x-1}\sum_{j=0}^\infty (-1)^jt^jdt \\ &=\sum_{j=0}^\infty (-1)^j \int_0^{e^x-1} t^jdt\\ &=\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j+1}(e^x-1)^{j+1}\\ &=\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j+1} \sum_{k=0}^{j+1} \frac{n!}{k!(n-k)!}e^{x(n-k)}(-1)^k\\ &=\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^{j+1} \frac{(-1)^{j+k}n!}{(j+1)k!(n-k)!} e^{x(n-k)}\\ &=\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^{j+1} \frac{(-1)^{j+k}n!}{(j+1)k!(n-k)!} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell}{\ell !}(n-k)^\ell x^\ell\\ &=\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^{j+1} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^{j+k+\ell}n!(n-k)^\ell x^\ell}{(j+1)k!\ell!(n-k)!} \end{align}

y no puedo ver a todos que esto es igual a $x$. Mi conjetura es que voy sobre esta todo mal.

Answer 1

$\log(e^x)=\int_1^{e^x}\frac{1}{t}dt=\int_0^x\frac{1}{e^u}e^u du=x$ y como es fácil demostrar que $e^x$ es biyectivo, entonces $\log$ es su inverso.

Answer 2

Utilizamos el hecho de que $g(x)=\exp(x)$ es la única función de $g:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$ tal que $g'(x)=g(x)$ e $g(0)=1.$

Desde $f(x)=\log(x)$ es evidentemente bijective, debe tener la inversa de la $f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$. Por el bien conocido teorema de la derivada de la función inversa, $$(f^{-1}){'}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{1/(f^{-1}(x))}=f^{-1}(x)$$ for every $x>0$. Furthermore, since $f(1)=\log(1)=0,$ $f^{-1}(0)= 1$.

De ello se desprende que $f^{-1}(x)$ debe $\exp(x).$