Son homotópica asigna a través de un cofibration homotópica relativa a la cofibration?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff y $A$ un subespacio cerrado. Supongamos que la inclusión de $A \hookrightarrow X$ es un cofibration. Deje $f, g: X \to Y$ mapas que están de acuerdo en $A$ y que se homotópica. Son homotópica relativa a $A$?

Mi motivación para hacer esta pregunta procede de la siguiente resultado:

Deje $i: A \to X, j: A \to Y$ ser cofibrations. Supongamos $f: X \to Y$ es un mapa que hace que el triángulo natural conmutativa. Supongamos $f$ es un homotopy de equivalencia. A continuación, $f$ es un cofiber homotopy de equivalencia.

Por otro lado, estoy teniendo problemas para adaptarse a la prueba en Pedro del libro de esta a la pregunta que le hice. Sin embargo, el estándar de ejemplos de pares de tarjetas que se homotópica, pero no con respecto a que algún subconjunto en el que están de acuerdo (es decir, el mapa de identidad de un peine espacio y su caída de un seleccionados adecuadamente, punto), no parecen implicar NDR pares.

Answer 1

Creo que la maquinaria de la obstrucción de la teoría se ocupa con el caso especial donde los espacios son skeleta de un CW-complejo. Aquí está el programa de instalación (básicamente soy una simple copia de 6-7 de Mosher Y Tangora aquí):

Deje $Y$ ser simplemente conectado a la simplicidad. En primer lugar, vamos a $B$ ser un complejo y $A$ ser un subcomplejo. Deje $f:A\cup B^n\rightarrow Y$. Entonces tenemos una obstrucción cochain $c(f)\in C^{n+1}(B,A;\pi_n(Y))$ (es decir, una función relativa $(n+1)$-celdas con valores en $\pi_n(Y)$). Igualmente, os $K$ ser complejo; a continuación, para cualquiera de los dos mapas de $f,g:K\rightarrow Y$ que está de acuerdo en $K^{n-1}$, del mismo modo obtener una diferencia cochain $d(f,g)\in C^n(K;\pi_n(Y))$.

Aquí están los dos resultados.

• Teorema: Existe un mapa de $g:A\cup B^{n+1}\rightarrow Y$ estaba de acuerdo con $f$ $A\cup B^{n-1}$ fib $[c(f)]=0 \in H^{n+1}(B,A;\pi_n(Y))$.
• Teorema: Las restricciones de $f$ $g$ $X^n$son homotópica rel $K^{n-1}$ fib $d(f,g)=0 \in C^n(K;\pi_n(Y))$. Son homotópica rel $K^{n-2}$ fib $[d(f,g)]=0 \in H^n(K;\pi_n(Y))$.