¿Qué es la temperatura en un nivel cuántico?

Question

Cuando yo estaba en la escuela secundaria, me enteré de que la temperatura es la energía cinética.

Cuando me enteré de la física estadística, nos enteramos de que la temperatura es una estadística cosa, y había una fórmula para ello.

Preguntas:

1. ¿Qué es la temperatura en términos de la mecánica cuántica? Esto es, ¿cómo es la temperatura conectado a quantum conceptos como posición, velocidad, momento angular, los giros y los niveles de energía?

2. ¿Cómo afecta la temperatura se relacionan con los niveles de energía de un átomo?

3. Es la tierra del estado siempre en el cero absoluto?

4. Si los niveles de energía discretos, ¿cómo es esto de jugar con la cantidad infinita de temperaturas que existen en el universo?

Answer 1

Para utilizar un marco de mecánica de estadísticas, la mecánica cuántica describe cómo las partículas transitan entre los diferentes microestados de su sistema. La temperatura es una propiedad que emerge del macroestado del sistema cuando alcanza el equilibrio.

Aquí "el sistema" es una colección de partículas. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de la temperatura de un solo átomo de forma aislada.

Answer 2

En la mecánica clásica, que no existe siempre una bien definida la noción de temperatura (no tiene sentido definir la temperatura para una sola partícula libre). La mecánica cuántica tiene un comportamiento similar.

Formalmente, podemos definir una térmica expectativa de valor de $\langle \rangle_\beta$ lo que significa que, para algunos observables $\mathcal{O}$,

$$\langle \mathcal{O} \rangle_\beta = \langle \mathcal{O} e^{-\beta H} \rangle $$

donde $\langle \rangle$ es lo habitual en la expectativa de valor de la mecánica cuántica, y $\beta$ es el inverso de la temperatura (esta definición debe ser adecuadamente normalizado, que vamos a ignorar por ahora). Para entender lo que esto significa, de manera intuitiva, podemos ampliar la expectativa de valor de la energía eigenbasis

$$\langle \mathcal{O} \rangle_\beta = \sum_n \langle n | \mathcal{O} | n\rangle e^{-\beta E_n} $$

Lo que esto significa es que, para baja temperatura (gran $\beta$), el $e^{-\beta E_n}$ plazo penaliza a los mayores contribuciones de la energía, y el más bajo de energía de los estados contribuyen más a la térmica de la expectativa de valor. Si estás familiarizado con el concepto de densidad de matrices, verás que la térmica expectativa de valor es sólo la expectativa de valor para un sistema en el estado $\rho = e^{-\beta H}$.

Si usted desea, usted puede tomar esto como la definición de lo que la temperatura significa que en la mecánica cuántica. Si queremos hablar de un sistema cuántico en algunos inversa de la temperatura de $\beta$, que acaba de sustituir toda la expectativa normal de los valores térmicos expectativa de valores. Pero esto realmente no se explica por qué esta definición es relevante (similar a la forma en que a veces nos acaba de tomar la clásica leyes de la termodinámica como un hecho, sin una justificación estadística).

¿Cómo podemos asociar una temperatura con un estado cuántico? Para cualquier estado cuántico con el promedio de la energía $E$, podemos definir una temperatura a partir de la energía mediante la resolución de

$$E = \langle H \rangle_\beta$$

Tenga en cuenta que esto responda a su pregunta acerca de la distinción de los niveles de energía - siempre podemos considerar el promedio de la energía de un estado, que es continuo.

Ahora, imagina que tu mecánico-cuántica del sistema es muy grande. Puede llegar a darse el caso de que la expectativa de los valores de los operadores restringido a una pequeña región del sistema térmico - en otras palabras, toman valores cercanos a $\langle \mathcal{O} \rangle_\beta$. Si esto es cierto, entonces decimos que nuestro sistema thermalized, y se vuelve útil para hablar sobre las expectativas de los valores. Es fácil de llegar con los estados que no cumplen esto, pero resulta (no trivial) que muchos estados tienden a convertirse térmica si usted evolucionan con el tiempo, el tiempo suficiente.

Answer 3

En la mecánica clásica, uno puede pensar de configuraciones ("microstates") del sistema, cada uno con posición definida y el impulso para todas las partículas. En el equilibrio térmico a la temperatura de $T$, la probabilidad de encontrar el sistema en cualquier configuración determinada es proporcional a $\mathrm{e}^{-E/k_{\mathrm{B}}T}$ [1], donde $E$ es la energía de la configuración y $k_{\mathrm{B}}$ es la constante de Boltzmann. (Proporcional, no igual, porque las probabilidades deben ser normalizado de manera que sumen a $1$. Para normalizar ellos se divide por la función de partición, $Z$.)

En la mecánica cuántica, usted no puede pensar en configuraciones con posición definida y el impulso más. En su lugar, usted tiene los niveles de energía (es decir, autoestados del Hamiltoniano del operador), y la declaración tiene que ser reformulada en términos de ellos: En el equilibrio térmico a la temperatura de $T$, la probabilidad de encontrar el sistema en un nivel de energía $E$ es proporcional a $\mathrm{e}^{-E/k_{\mathrm{B}}T}$ [2]. (La constante de normalización todavía es $1/Z$.)

Por ejemplo, un aislado 1D oscilador armónico tiene un conjunto de niveles de energía, marcadas por $n=0,1,2,\ldots$, con energías $E_n \propto n + \frac{1}{2}$. Si lo trae para el equilibrio térmico a la temperatura de $T$ (permitiendo que el intercambio de fotones con un cuerpo negro, por ejemplo), luego se tiene una probabilidad de $p_n \propto \mathrm{e}^{-E_n/k_{\mathrm{B}}T}$ de ser encontrado en estado de $n$.

En el límite que la temperatura se aproxima a cero, todas las probabilidades de ir a cero, excepto para el estado fundamental, que los enfoques $1$. (Usted necesita para mantener un seguimiento de la normalización a la hora de tomar este límite.) Así, un sistema en equilibrio térmico a cero de temperatura siempre está en su estado fundamental.

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Un importante aparte: tenga en cuenta que esto no significa que, en equilibrio térmico, un sistema cuántico está en una superposición de energía autoestados $\lvert n \rangle$ como $\lvert \psi \rangle = \sqrt{p_0} \lvert 0 \rangle + \sqrt{p_1} \lvert 1 \rangle + \sqrt{p_2} \lvert 2 \rangle + \cdots $. De hecho, un sistema en equilibrio térmico no en una superposición coherente, sino más bien en una "mezcla incoherente". Estas mezclas puede ser descrita por una matriz de densidad (a pesar de que este formalismo no es generalmente necesaria para la descripción simple de mezclas como el equilibrio térmico).

Answer 4

Un montón de preguntas. Me centraré en la cuestión principal.

¿Qué es la temperatura en un nivel cuántico?

La razón por la energía interna de un cuerpo es el intercambio de radiación con otros organismos. En detalle, las partículas subatómicas de un cuerpo recibir estocástico paquetes de energía - los fotones - y emiten fotones de nuevo. Un cuerpo está en equilibrio cuando la radiación incidente corresponde a la salida de la radiación.

Para un "aislado", observa el átomo, la igualdad de la entrada y salida de energía durante un cierto período de tiempo es, por tanto, relacionada con la constancia de la temperatura del cuerpo para que el átomo pertenece. Lo mismo se aplica a un gas (si alguien no está de acuerdo con el modelo del átomo aislado en un cuerpo rígido).