¿Cómo tomo una fracción a un poder negativo?

Question

Me encontré con este problema durante mi tarea. Utilizando las reglas de los logaritmos, tengo que demostrar que $$ -2\ln\bigg(\frac{2}{\sqrt{6}}\bigg)=\ln3-\ln2 $$ Así que aquí fueron mis pasos:

1. Primer paso: $$ -2\ln\bigg(\frac{2}{\sqrt{6}}\bigg)=\ln\left(\bigg(\frac{2}{\sqrt{6}}\bigg)^{-2}\right) $$ Y que es la que yo tengo, porque ahora quiero usar el formulario de $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$, pero primero necesito para reducir la fracción debido a que es elevado a la $-2$.

¿Cómo puedo evaluar $\bigg(\frac{2}{\sqrt{6}}\bigg)^{-2}$ ?

Gracias

Answer 1

Por definición, $$a^{-k} = \frac 1{a^k}$$

Por lo $$\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^{-2} =\frac 1{\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^{2}}=$$

$$\frac 1{\left(\frac {2^2}{\sqrt 6^2}\right)}=\frac {\sqrt 6^2}{2^2}=\frac 64=\frac 32$$

Esto ayudará a darse cuenta de que $(\frac ab)^{-1} = 1/(a/b) = \frac ba$ y que $(\frac ab)^k = \frac {a^k}{b^k}$ a darse cuenta de que eso significa que $$\left(\frac ab\right)^{-k} = \frac 1{\left(\frac ab\right)^k}= \frac 1{\left(\frac {a^k}{b^k}\right)} = \frac {b^k}{a^k}.$$

(También se $(\frac ab)^{-k} = [(\frac ab)^{-1}]^k = (\frac ba)^k=\frac {b^k}{a^k}$ o que $(\frac ab)^{-k} = \frac {a^{-k}}{b^{-k}} = (1/a^k)/(1/b^k) = \frac {b^k}{a^k}$.)

En cualquier caso

$$\left(\frac {2}{\sqrt 6}\right)^{-2} = \left(\frac {\sqrt 6}{ 2}\right)^2 = \frac {\sqrt 6^2}{2^2} = \frac 64 = \frac 32.$$

Answer 2

$$ \begin{align} -2\ln \left( \frac{2}{\sqrt 6} \right) &= -2\big( \ln(2)-\ln(\sqrt{6}) \big) \\ &= -2\ln(2)+2\ln(6^{1/2}) \\ &= -2\ln(2)+\ln(2\cdot 3) \\ &=-2\ln(2)+ \big( \ln(2)+\ln(3)\big) \\ &=\ln(3)-\ln(2) \end {align} $$ Y para su pregunta específica, recuerde que $$\left( \frac{a}{b} \right)^{-n}=\left( \frac{b}{a} \right)^n$ $

Answer 3

Bueno, puedes comenzar por distribuir el índice, ya que $2$ y $\sqrt 6$ son positivos. Por lo tanto $$\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^{-2}=\frac{2^{-2}}{{\sqrt 6}^{-2}}.$ $

Luego recuerde que para cualquier número que no sea cero $a$ y cualquier entero negativo $-n,$ tenemos $$a^{-n}=\frac {1}{a^n}.$$ Applying this to your expression, we have $$\frac{2^{-2}}{{\sqrt 6}^{-2}}=\frac{\frac {1}{2^2}}{\frac{1}{{\sqrt 6}^2}}=\frac{\frac {1}{4}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{4}=\frac 32.$ $

Answer 4

Usando tu primer paso,

$-2 \ln(\frac{2}{\sqrt{6}}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{6}})^{-2} = \ln \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{6}})^{2}} = \ln \frac{6}{4} = \ln\frac{3}{2} = \ln 3 - \ln 2$

Answer 5

PS

si y solo si

PS

si y solo si

PS

Y así, tenemos

PS

cual es verdad.