Polinomios con variación mínima y raíz fija--buscando una variante de los polinomios de Chebyshev (motivado por la probabilidad)

Question

Recordemos que el polinomio de Chebyshev $T_n(x)$ para un número entero positivo $n$ es, en un sentido formal, el polinomio de grado $n$ que "varía menos" en un intervalo. En concreto, (un escalado adecuado de) $T_n(x)$ es el polinomio mónico $p$ de grado $n$ que minimiza

$$\sup_{x \in [-1,1]} |p(x)| \; .$$

Estoy interesado en encontrar un polinomio de grado $n$ que varía lo menos posible en un intervalo, sujeto a la restricción de que el polinomio debe tener una raíz en algún punto fijo. Es decir, me gustaría encontrar un polinomio $p$ de grado $n$ tal que $$p(0) = 0$$ y satisfactorio $$1 \leq p(x) \leq \alpha_p$$ para todos $x \in [1,N]$ con $\alpha_p$ lo más pequeño posible. (No estoy seguro de la importancia del parámetro $N$ es).

Así que esa es la cuestión. Para aquellos que estén interesados, escribiré mi motivación a continuación.

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Motivación

Mi motivación proviene de otra cuestión muy natural. Supongamos que tengo alguna variable aleatoria $X$ sobre, digamos, los enteros $0,\ldots, N$ Y supongamos que conozco la primera $n$ momentos de $X$ , $M_1,\ldots, M_n$ con $N \gg n$ . Dada esta información, ¿con qué precisión podemos estimar $\Pr[X \neq 0]$ (en el peor de los casos)?

La primera observación que hay que hacer aquí es que conocer $M_1,\ldots, M_n$ equivale a conocer la expectativa $\mathbb{E}[p(X)]$ para cualquier polinomio $p$ cuyo grado es como máximo $n$ . Supongamos, para simplificar, que sólo queremos utilizar una de estas expectativas para responder a esta pregunta. ¿Qué polinomio $p$ ¿elegimos, y qué tan bien podemos hacerlo?

Está claro que $p$ es inútil para este propósito si existe un $k_1,k_2$ con $p(k_1) \leq p(0) \leq p(k_2)$ ya que entonces existen valores de $\mathbb{E}[p(X)]$ que no limitan $p(0)$ en absoluto. Así que, después de desplazar y reescalar, podemos suponer que $p(0) = 0$ y $1 \leq p(k) \leq \alpha_p$ para $k \in \{1,\ldots, N\}$ . Este polinomio produce un factor de aproximación multiplicativo de $\alpha_p$ por lo que nuestro objetivo es encontrar el polinomio que minimice $\alpha_p$ . La pregunta anterior es idéntica, salvo que he eliminado la restricción de que $k$ debe ser un número entero (lo que parece razonable para grandes $N$ ).

Answer 1

Tenga en cuenta que $$P_n(x)=T_n\left(\frac{2x-2}{N-1}-1\right)$$ oscila entre $-1$ y $1$ en $[1, N]$ . Y como $P_n(1)=T_n(-1)=(-1)^n$ el polinomio que se busca es $$\frac{P_n(0)-P_n(x)}{P_n(0)-(-1)^n}.$$ Su máximo sobre $[1,N]$ es $$\frac{P_n(0)+1}{P_n(0)-1}$$ si $n$ es par y $$\frac{P_n(0)-1}{P_n(0)+1}$$ si $n$ es impar.