Demuestre que$\mathbb{Q}$ es denso en$\mathbb{R}$

Question

Por lo tanto, estoy un poco viejo (26yrs) para esto, pero me partió del Apostol Vol 1, y estoy haciendo bastante lento progreso!

Hay un blog de matemáticas que voy a por ayuda (stumblingrobot.com), pero realmente no entiendo su prueba para esta pregunta (I 3.12 qn 6). Se dice que, dado cualquier real $x$, $y$, con $x < y$, demostrar que al menos 1 número racional $r$ existe, tal que $x < r < y$, y por lo tanto infinitamente muchos.

En la misma sección qn1, hemos demostrado que para cualquier real $x$, $y$, con $x < y$, hay al menos 1 real $z$ tal que $x < z < y$. Desde los números racionales $\mathbb{Q}$ son un subconjunto de los números reales $\mathbb{R}$, ¿no debería esto ser una prueba suficiente?

Answer 1

Es cierto que para cualquier real $x$ e $y$ con $x<y$ no es un número racional entre ellos, pero no podemos probar que el hecho de que para cualquier real $x$ e $y$ con $x<y$ no es un número real entre ellos, debido a que el número real entre ellos no está garantizada para ser racional.

Answer 2

Como ha sido señalado por ahora (especialmente en J. W. Tanner aceptada en la respuesta) si usted tiene el hecho de que entre dos números reales, $x$ e $y$ habrá un número real entre ellos, no puede usar ese hecho para reclamar siempre habrá un racional número de entre ellos como no tienen ninguna garantía de que el número se demostró que sí existe es racional.

Este post es para extender cómo uno podría mostrar un racional debe existir.

El aspecto más básico acerca de los números reales es que para cada número real $x$, si es racional o irracional, la voluntad de ser una secuencia infinita de números racionales $q_i$ que va a tener tan cerca a $x$ "como quieras".

Esta es sutil, pero es básico. No estoy del todo seguro de cómo Apostol presentó este. Pero creo que el debe básica y comprensible explicación sería algo como esto:

$x$ se encuentra en algún lugar en los números reales. Podemos dividir los números reales en intervalos de longitud de $\frac 1n$ para algunos entero $n$ e $x$ , pero tendrá que ser en algún intervalo entre $\frac a{n}$ e $\frac {a+1}n$ porque ... bueno, $x$ tiene que estar en algún lugar y en todas partes va a ser en uno de estos intervalos. Podemos hacer que esta intervalos más y más precisa de tomar más y más, los valores de $n$. Si nos fijamos como estos número racional extremos y verlos como una lista vamos a tener un número infinito de números racionales "perfeccionar" en nuestro número real $x$.

Así que con eso en mente, la prueba es sencilla. Para $x$ e $y$ habrá un número real $z$ entre ellos. Ahora $z$ podría no ser racional, pero hay un número infinito de números racionales "perfeccionar" en la $z$. Escoge uno que está más cerca de a $z$ que $z$ es $x$ o $y$. Que número racional se entre $x$ e $y$.

Si que la prueba parece casual e informal... bueno, probablemente todo el mundo estará de acuerdo con usted. Pero podemos formalizar hasta:

Entre $x$ e $y$ , de modo que $x< y$ hay una real $z$ , de modo que $x < z < y$. $z$ es real así que de alguna manera Apostol deben haber probado o definido o declarada por el axioma de que hay varios racional $q_n \to z$, o en otras palabras, para cualquier valor de $\delta > 0$ podemos encontrar un racional $q$ , de modo que $|q-z| < \delta$.

Que puede parecer complicado y técnico, pero en todos los libros de texto en números reales, se tiene que se han declarado en alguna parte en algunas palabras, tal vez muy diferentes en busca de las palabras, que a cada número real se arbitrariamente cerca de varios números racionales. Que todo esto que está diciendo. Para cualquier distancia $\delta$ podemos encontrar un número racional que está dentro de $\delta$ de $z$.

Así, $x < z < y$ lo $y-z> 0$ e $z-x > 0$ y si tomamos $\delta = $ el valor más pequeño de $z-x$ o $y-z$ habrá un número racional, $q$ dentro de esa distancia a $z$. Por lo $z-(z-x) < q < z + (y-z)$ o en otras palabras $x < q < y$.

Answer 3

He aquí una débil, pero intuitivo argumento.

Deje $x_1$ e $x_2$ ser algunos de los números reales, tal que $x_2 > x_1$.

A continuación, vamos a $\displaystyle q'= \left\lceil\frac{1}{x_2-x_1}\right\rceil$.

Esto le dará el denominador de la distancia entre $x_2-x_1$. Por ejemplo, si $x_2 \geq x_1 + 1$, a continuación, $q'=1$, lo cual tiene sentido, porque $\displaystyle \frac{p}{q}$ sólo puede ser un número entero.

Ahora, vamos a $q=2q'$. Esto evita posibilidades donde $x_1$ e $x_2$ son de la forma $\displaystyle \frac{n}{q}$, como $(x_1,x_2)=\displaystyle \left(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}\right)$.

Ahora, siempre podemos encontrar una $p$, de tal manera que $\displaystyle x_1 < \frac{p}{q} < x_2$.

Answer 4

Aquí, vamos a intentar dar una más involucrados, pero potencialmente más intuitiva, la prueba.

Así que lo primero es lo primero, tenemos que hacer que la parte intuitiva en su lugar, y que significa pensar un poco sobre lo que el número real de la línea de "es", y lo que tratan de demostrar en relación a eso.

Y esto es lo que pasa. El número real de la línea debe, básicamente, ser considerado como un "ideal de gobernante": un gobernante, como usted sabe, tiene poco las marcas de graduación en regularmente espaciadas en intervalos a lo largo de ella, como esta.

También debe tener en cuenta que cada tantas marcas, hay una "gran" marca que está marcado con un número entero. Esto representa un recuento de la regla fundamental de la unidad - en este caso es (supongo) centímetros (cm). En la matemática de la recta numérica real, no nos importa lo que la unidad es en realidad, si es que nada en absoluto, sólo que existe: y se denota con el símbolo $1$ - esta es la razón por la que usted puede haber oído "$1$" llamado "a la unidad" o "unidad", ya que es lo que es: la regla, la garrapata marcado "$1$" significa $1\ \mathrm{cm}$.

Por otra parte, hay pequeñas marcas. En una regla como la de arriba, que son milímetros, o mejor, décimas de centímetros: cada pequeña garrapata cuenta $\frac{1}{10}\ \mathrm{cm}$. Utilizamos las marcas como así: contando - ya sea de la mayor o menor marcas - de la regla del punto de inicio, hasta cierto punto final deseado, tales como, tal vez, el final de una larga objeto de que el gobernante se coloca contra, podemos calcular el número de unidades de medición de ese tipo (es decir, $1\ \mathrm{cm}$ o $\frac{1}{10}\ \mathrm{cm}$). Por ejemplo, si contamos 23 de las grandes marcas, sabemos que es de 23 cm. Tenga en cuenta que el mismo también sería el caso si contamos 230 de la pequeña marcas: que es $\frac{230}{10}$ cm. Esto muestra que la regla tiene dos diferentes niveles de precisión, y esta sería una más precisos de medición: si el objeto no es exactamente 23 cm de largo, pero su final se ajusta entre el 22 y el 23 cm, decir, ahora podemos obtener la décima más cercana, por ejemplo, el 22,7 cm.

El número real de la línea, del mismo modo, funciona de la misma manera, sólo que es mucho más detallado. Además de la unidad básica, usted puede pensar en él también tener "marcas" en cualquier fracción del mismo:

$$\frac{1}{q}$$

para cada número natural $q > 0$.

En particular, los números racionales se producen en cada una de las marcas de graduación de la forma

$$\frac{p}{q}$$

donde $p$ es un número entero, por lo que es también un doble-terminó regla, con las garrapatas yendo hacia atrás desde antes de la marca del cero.

Cuando se dice que los "racionales son densos en los reales", lo que esto significa es esto: Piensa acerca de la regla ordinaria de nuevo. Supongamos que poner dos puntos a lo largo de su borde. A condición de que no son más que el más pequeño de graduación (en la imagen, $\frac{1}{10}\ \mathrm{cm}$), entonces usted puede diferenciarlos en que usted puede encontrar una marca de graduación entre ellos. Pero, si ellos están cerca de este, usted no será capaz de. Pero ahora piensa sobre el número real de la línea: esta propiedad significa que usted siempre será capaz de encontrar un intermedio de marca de graduación.

Y que también nos da la forma a la prueba formal. Dejar que los dos puntos se $x$ e $y$, con $x < y$ (es decir, $x$ está a la izquierda de $y$). Elegir un "tick tamaño" que es un número natural $q$. El "tick mark conjunto"

$$\mathrm{TM}(q) := \left\{ \frac{p}{q},\ p \in \mathbb{Z} \right\}$$

Ahora, veamos un poco de ejercicio. Supongamos que empezamos con $q = 1$, es decir, las garrapatas son los pasos de la plena unidad básica (centímetros, si así lo desea). Si una garrapata se encuentra entre los dos puntos, es decir, hay un $p$ tal que $x < p < y$, entonces hemos terminado. Si no, sin embargo, entonces podríamos decir que es demasiado grueso, y debemos aumentar la granularidad: tomemos, por ejemplo, $q = 10$ (ahora estamos en $\frac{1}{10}\ \mathrm{cm}$, si quieres). ¿Ahora tenemos un $\frac{p}{10}$ tal que $x < \frac{p}{10} < y$? Sí, hemos terminado. No, ahora ve a $q = 100$. Y así sucesivamente. La prueba consiste, entonces, de mostrar que , en algún nivel, hemos llegado a obtener la suficiente resolución para separar los puntos.

¿Cómo hacemos eso? Bueno, piensen en los casos donde no hay suficiente resolución. Es decir, supongamos $q$ ser tal, que no es no $\frac{p}{q}$ con $x < \frac{p}{q} < y$, es decir, no hay ninguna marca de graduación entre los dos puntos. Ahora nos encontramos que las marcas de graduación, que se sitúan entre. Considere la posibilidad de

$$\mathrm{LeftTicks}(q, x) := \left\{ \frac{p}{q} : \frac{p}{q} < x \right\}$$

Ya está delimitada por encima y "como" un segmento inicial de los números enteros, también es inversa-bien-ordenó, y tiene un elemento maximal: la última garrapatas antes de que nos paso a paso por $x$. Deje que su numerador ser $p_m$. Como hemos supuesto que $x$ e $y$ son "demasiado cerca" (de lo contrario, estaríamos de hecho), debemos tener

$$\frac{p_m}{q} \le x < y \le \frac{p_m + 1}{q}$$

es decir, $x$ e $y$ ajuste entre las dos marcas de graduación en la regla de que están inmediatamente adyacentes.

Ahora, usando las propiedades de las desigualdades, podemos arreglar esto

$$(y - x) \le \left(\frac{p_m + 1}{q} - \frac{p_m}{q}\right)$$

o

$$(y - x) \le \frac{1}{q}$$

es decir, que la distancia entre los dos puntos es menor que la garrapata de la unidad, tal como debe ser. Nota: hemos estado tentados a asumir esto, pero tenemos que mostrar que el dado a las marcas de graduación de existir en primer lugar.

Por lo tanto, la estrategia debe ser la de mostrar que podemos hacer $\frac{1}{q}$ adecuadamente pequeña - es decir $q$ adecuadamente grande, de tal manera que la desigualdad se invierte:

$$\frac{1}{q} < (y - x)$$

. Si eso se mantiene, entonces es fácil ver que $\frac{p_m + 1}{q}$ será el deseado intermedio racional.

¿Cómo se demuestra esto? Bueno, que es donde tenemos el de Arquímedes de la propiedad, que dice:

• (Arquímedes Propiedad) Si $a$ es un número real tal que $$0 \le a < \frac{1}{n}$$ para cada número natural $n > 0$, a continuación, $a = 0$.

En otras palabras, no hay ningún número más cercano a $0$ sobre la recta numérica real que cualquier adecuadamente-multa de números enteros fracción, o marque el espaciado de la longitud de la unidad. Tenga en cuenta que esta desigualdad es sólo el que ya tenemos: tome $a := y - x$. Por lo tanto, a partir de esta propiedad, se sigue que, si no podemos decir los puntos aparte, no importa cuán grande sea el número de divisiones de $q$ dividimos la unidad básica, y después

$$a = y - x = 0$$

es decir, los dos puntos son de hecho idénticos, cuando habíamos asumido diferentes - contradicción.

Answer 5

Creo que se puede usar el Continuum de la Asunción(Menos el límite Superior de la Propiedad) de los Reales para probar esto. Im recordando partes y piezas de Wade.

Dado un no-vacío subconjunto de los reales con un límite superior, E, se tiene al menos un límite superior. Como corolario, cualquier real mayor que el l.u.b. no es en E.

La Arquímedes Propiedad se aplica en los reales. Dado dos reales, 0y. Consideremos conjunto $A={a|a$\N, ax<y\}$.

Sabemos $1\in A$. Así que a es no vacío. Una está delimitado por encima de y/x. Por lo que Una tiene al menos un límite superior, se $n_0$. A continuación, $(n_0+1)x>y$ e $(n_0+1)\notin A$.

Ahora puede ser usado para encontrar una q=m/n, donde $x<q<y$?

Primero vamos a suponer que tenemos dos reales tales que r1. La Propiedad de Arquímedes nos garantiza un entero $n_0\cdot 1<r<(n_0+1)\cdot 1$. Tenemos $s-n_0>1$, lo $s>n_0+1$. Así que tenemos $r<n_0+1<s$. Así que entre cualquier dos reales cuya diferencia es mayor que 1, tenemos un número entero.

Podemos elegir n arbitrariamente para satisfacer $nx<m<ny$ e $n(y-x)>1$. Una vez que tenemos nuestro n, m está garantizado, así que tenemos nuestra p tal que $x<q<y$ con q ser racional.

Los números racionales son números reales. Así que, dado que x y p, podemos encontrar un racional entre ellos y recorrer. Así que tenemos un número infinito de racionales entre cualquier dos reales.