La distancia más corta alrededor de una pirámide

Question

Transcripción:

El diagrama muestra una pirámide de base cuadrada con PQRS y vértice O. Todas las aristas tienen una longitud de 20 metros. Encuentra la distancia más corta, en metros, a lo largo de la superficie exterior de la pirámide desde P hasta el punto medio de O.

La única forma en que he podido resolver esta pregunta es usando un ordenador y el papel no es de calculadora, así que debe haber una solución más rápida y mejor.

Mi solución es crear un punto X en OQ y etiquetar el punto medio de OR como M, y establecer $\theta = OPQ$ . Entonces calculé $PX + PM$ en términos de $\theta$ y encontrar el punto mínimo de esta función, con el fin de encontrar la distancia más corta posible. Encontrar el punto mínimo no sería posible ni de lejos con la limitación de tiempo sin un ordenador.

He incluido la respuesta correcta, por lo que es el trabajo que estoy buscando.

Respuesta:

D $10\sqrt7$

Answer 1

Una pista:

La distancia tiene que ser una línea recta a lo largo de la red de la pirámide. Hay dos opciones:

La primera línea tiene longitud $10\sqrt{7+2\sqrt{3}}$ y el segundo tiene $10\sqrt{7}$ que es el más pequeño.

Answer 2

Dibuja la red de la pirámide y utiliza la regla del coseno.

Answer 3

Una pista: Dibuja el diagrama de red de la pirámide cuadrada y el encontrarás dos puntos que son punto medio de $OR$ . Como sabes que, la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera es la línea recta que los une, basta con conectar $P$ y el punto medio de $OR$ por una línea recta. A continuación, sólo hay que encontrar la longitud de esta línea y excluir la longitud de esta línea que sale del diagrama de la red. Esta longitud de la línea será la longitud mínima. ¿Por qué?

Nota: Puedes elegir cualquiera de los dos puntos medios porque como el diagrama es simétrico, las dos longitudes serán iguales.

Answer 4

Corta a lo largo de OQ y O con una tijera, dobla esa cara para poner las caras OPQ y OQR en un plano. Entonces el camino más corto es una línea recta desde el vértice P hasta el punto medio M de un lado opuesto de un rombo 60-120, creo.

Answer 5

Dibuja las líneas negras y azules como se muestra a continuación:

$\hspace{3cm}$

La longitud de la línea azul (utilizando el teorema del coseno): $$c+d=\sqrt{20^2+y^2-2\cdot 20y\cos 60^\circ}+\sqrt{10^2+y^2-2\cdot 10y\cos 60^\circ}=\\ \sqrt{y^2-20y+400}+\sqrt{y^2-10y+100}$$ Poner su derivada a cero: $$(c+d)'=\frac{y-10}{\sqrt{y^2-20y+400}}+\frac{y-5}{\sqrt{y^2-10y+100}}=0 \Rightarrow \\ (y-10)^2(y^2-10y+100)=(5-y)^2(y^2-20y+400) \Rightarrow \\ 3y^2-20y=0 \Rightarrow \\ y=\frac{20}{3}$$ Por lo tanto: $$c+d=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-20\cdot \frac{20}{3}+400}+\sqrt{(\frac{20}{3})^2-10\cdot \frac{20}{3}+100}=10\sqrt{7},$$ que intuitivamente es menor ya que pasa por las dos caras triangulares mientras que la línea negra pasa por la base cuadrática de mayor área y la cara triangular.

---

De todos modos, para comprobarlo, considera la longitud de la línea negra (utilizando el teorema del coseno): $$a+b=\sqrt{(20\sqrt{2})^2+x^2-2\cdot 20\sqrt{2}y\cos 45^\circ}+\sqrt{10^2+x^2-2\cdot 10x\cos 60^\circ}=\\ \sqrt{x^2-40x+800}+\sqrt{x^2-10x+100}$$ Poner su derivada a cero: $$(a+b)'=\frac{x-20}{\sqrt{x^2-40x+800}}+\frac{x-5}{\sqrt{x^2-10x+100}}=0 \Rightarrow \\ (x-20)^2(x^2-10x+100)=(5-x)^2(x^2-40x+800) \Rightarrow \\ 13x^2-40x-800=0 \Rightarrow \\ x=\frac{20}{13}(1+3\sqrt{3})$$ Por lo tanto: $$a+b=\sqrt{x^2-40x+800}+\sqrt{x^2-10x+100}=10\sqrt{7+2\sqrt{3}},$$