¿Es la longitud del arco siempre irracional entre dos puntos racionales?

Question

Recientemente me preguntaba: ¿por Qué pi tiene un irracional valor es simplemente el cociente del diámetro a la circunferencia de un círculo? Como el valor del diámetro es racional, a continuación, la irracionalidad debe venir de la circunferencia.

Luego he utilizado el cálculo para calcular la longitud de arco de distintas funciones con curvas de los gráficos (entre dos puntos racionales) y encontrar la longitud de arco de dos irracionales de nuevo.

Hacer todos los trazados de curvas han irracional longitudes?

Mi lógica es que mientras que el cálculo de la longitud de arco (cálculo) asumimos que el arco se compone de los infinitamente pequeños segmentos de línea y nunca se nos cierre el valor real y a diferencia del área bajo una curva, no existe un límite superior e inferior que converge en el mismo valor.

Si sí, son estas las razones irracionales existen valores en el primer lugar?

Answer 1

Obviamente, una línea recta entre dos puntos racionales pueden tener racional de la longitud de $-$ acaba de tomar $(0,0)$ e $(1,0)$ como sus puntos racionales.

Pero una línea curva también puede tener racional de longitud. Considere la posibilidad de parábolas de la forma $y=\lambda x(1-x)$, que todos pasan a través de los puntos racionales $(0,0)$ e $(1,0)$. Si $\lambda=0$, entonces obtenemos una línea recta, con una longitud de arco $1$. Y si $\lambda=4$, entonces la curva que pasa a través de $(\frac12,1)$, por lo que la longitud del arco es mayor que $2$.

Ahora vamos a $\lambda$ variar sin problemas de $0$ a $4$. La longitud del arco también varía suavemente, de $1$ a un valor mayor que $2$; de modo que para un cierto valor de $\lambda$, la longitud del arco debe ser $2$, que es un número racional.

Answer 2

Un ejemplo de una curva racional longitudes de arco entre, al menos, algunos de los pares de puntos racionales es una cardioide.

Abajo a la escala y la rotación, cardioide que se pueden representar en coordenadas polares por la ecuación

$$r=1-\cos\theta$$

con el diferencial de longitud de arco

$$ds=\left(\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\right)d\theta=\sqrt{2-2\cos\theta}~d\theta=2\sin(\theta/2)d\theta$$

La integración de esta de $\theta=0$ a un valor arbitrario de $\theta$ da la longitud del arco de la función

$$s=4(1-\cos(\theta/2))$$

Por lo tanto la longitud de arco desde el origen a $(-2,0)$ ($\theta=\pi$) es $4$. Por otra parte, supongamos que seleccionamos $\theta=2\cos^{-1}(a/c)$ donde $a^2+b^2=c^2$ es una terna Pitagórica. Entonces tenemos

$$\cos\theta=2(a^2/c^2)-1$$

$$\sin\theta=2(b/c)(a/c)=2ab/c^2$$

Claramente dando racional de los valores de las coordenadas Cartesianas $x=(1-\cos\theta)\cos\theta$ e $y=(1-\cos\theta)\sin\theta$. La longitud del arco desde el origen es, entonces, el racional cantidad

$$s=4(1-\cos(\theta/2))=4(1-a/c)$$

Answer 3

Entonces, mi pregunta es que hacer todo el camino curvo han irracional longitudes?

Por supuesto que no. Un círculo con un radio de $\frac{1}{2\pi}$ es una trayectoria curva y tiene una longitud de $1$ que es un número racional. Si usted pone en el centro del círculo a $(-\frac1{2\pi}, 0)$, a continuación, $(0,0)$, un "racional" de punto, está en el círculo, y el círculo puede ser visto como un camino de $(0,0)$ a $(0,0)$.

Answer 4

Considerar los dos puntos $(-\frac12,0)$ e $(\frac12,0)$. Para cualquier valor real de $y_0$, podemos dibujar un arco circular entre estos dos puntos, que se centra en $(0,y_0)$ y que se encuentra en su totalidad en la mitad superior del plano -. Como $y \to - \infty$, la longitud del arco enfoques 1 (ya que el arco se aproxima a una línea recta); como $y \to +\infty$, la longitud del arco enfoques $\infty$. Dado que la longitud del arco varía continuamente con $y_0$, debe ser el caso que la longitud del arco puede ser cualquier número real mayor que 1, incluyendo todos racional longitudes mayores que 1.

Answer 5

No.

Tomar cualquier curva suave entre dos puntos racionales y la deforman para cambiar su longitud por una cantidad finita. Durante la deformación, se cruza infinitamente muchos racional longitudes.

Un ejemplo sencillo es un polinomio de tener dos raíces racionales, los tiempos de un factor variable.

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Ahora considere la curva de ecuaciones paramétricas

$$\begin{cases}x=\dfrac{t^3}3-t,\\y=t^2\end{cases}$$

(modificado Tschirnhausen cúbicos).

Tenemos

$$s=\int_a^b\sqrt{(t^2-1)+4t^2}\,dt=\int_a^b(t^2+1)\,dt=\frac{b^3-a^3}3+b-a,$$

de modo que la longitud entre dos racionales $t$ (dando racional de los extremos) es siempre racional.