Descripción sin coordenadas de la corriente Noether

Question

Si $Q$ es una variedad diferenciable y $L:TQ\to \Bbb R$ es un Lagrangiano invariante bajo una $1$-grupo de parámetros de $(\varphi_s)_{s\in \Bbb R}$ de diffeomorphisms de $Q$, entonces el Noether cargo $\mathscr{J}:TQ\to \Bbb R$ definido por $$\mathscr{J}(x,v) = \mathbb{F}L(x,v)\left(\frac{\rm d}{{\rm d}s}\bigg|_{s=0}\varphi_s(x)\right),$$where $\mathbb{F}L:TQ\to T^*P$ is the fiber derivative of $L$, is constant along curves $x:[a,b]\a P$ which are critical points of the action functional of $L$. Este es el Teorema de Noether declaró en la forma más limpia sé.

Estoy interesado en la versión del teorema de Lagrangians cuyo dominio es $TQ^{\oplus m}$ para algunos $m\geq 1$, es decir, con más de un vector tangente como entrada. Coordina $(q^1,\ldots, q^n)$ en $Q$ inducir coordenadas en cada copia de $TQ$ dentro $TQ^{\oplus m}$, y así obtenemos las coordenadas $$(q^1,\ldots , q^n, v^1_{(1)},\ldots ,v^n_{(1)},\ldots, v^1_{(m)},\ldots, v^n_{(m)}).$$Fix $\Omega\subseteq \Bbb R^m$ a compact subset with non-empty interior and regular boundary (and coordinates $(u^1,\ldots u^m)$), so that the domain of the action functional of $L:TQ^{\oplus m}\a \Bbb R$ consists of "$m$-surfaces" $x:\Omega\a P$. For a Lagrangian like this invariant over $(\varphi_s)_{s \en \Bbb R}$, I got that that $$\sum_{\ell=1}^m\frac{\partial}{\partial u^\ell}\left( \sum_{k=1}^n \frac{\partial L}{\partial v^k_{(\ell)}}(x(u),\nabla x(u))\frac{\partial q^k}{\partial s}(0,u)\right) = 0.$$ Esta es claramente la divergencia de algo. No sé cómo describir de una manera intrínseca, ¿qué es este algo, en términos de (parcial?) la fibra derivados o lo que sea. Me gustaría posiblemente describir esto como algún mapa en $TQ^{\oplus m}\to ?$ que es constante a lo largo de crítica $m$-superficies.

La física de los textos son completamente ininteligibles para mí, y los pocos textos de matemáticas que podría decir algo útil acerca de esto hablar de un nivel de generalidad que va por encima de mi cabeza. Ayuda?

Answer 1

Obtuve ayuda fuera de aquí, así que la resumiré: definimos $\mathscr{J}\colon TQ^{\oplus m} \to \Bbb R^m$ por $\mathscr{J} = (\mathscr{J}^1,\ldots, \mathscr{J}^m)$ , donde $$\mathscr{J}(x,v_1,\ldots, v_m) = (\mathbb{F}L)^\ell(x,v_1,\ldots, v_m)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\bigg|_{s=0}\varphi_s(x)\right),$$and $ (\ mathbb {F} L) ^ \ ell $ is the $ \ ell$-th partial fiber derivative of $ L$ (i.e., the restriction of $ \ mathbb {F} L$ to the $ \ ell$-th copy of $ TQ$ inside $ TQ ^ {\ oplus m}$). What I had missed is that while $ \ mathscr {J}$ is not a vector field, whenever we have a $ m$-surface $ x \ colon \ Omega a Q$, the composition $$\Omega \ni u \mapsto \mathscr{J}(x(u), \nabla x(u)) \in \Bbb R^m $$does define a vector field along $ \ Omega$, whose divergence is zero when $ x$ is a critical point of the action functional associated to $ L $ (este es el contenido del teorema).