La ambigüedad en la aplicación del teorema de cáscara de Newton en un universo infinito y homogéneo.

Question

Newton shell teorema tiene dos corolarios:

1. La atracción gravitatoria de un esféricamente simétrica cuerpo actúa como si toda su masa se concentra en el centro, y

2. La aceleración de la gravedad en el interior de la cavidad de un esféricamente simétrica cuerpo se desvanece.

Considere la posibilidad de una nave espacial flotando libremente en el espacio. En un universo homogéneo, la combinación de atracción de toda la materia debe cancelar, y la nave espacial debe permanecer inmóvil. Sin embargo, yo soy libre para dividir la atracción en varias partes, originarios de diferentes partes del universo: En la figura de abajo, he dividido el universo en una esfera roja centrada en un punto arbitrario (x) con mi nave espacial que se encuentra en el borde de la esfera, además de una infinidad de conchas centra en el mismo punto.

Por el corolario #1, la atracción gravitatoria de la esfera roja es igual a la de toda su masa centrada en el punto x. Por el corolario #2, la combinación de la aceleración de la nave espacial de toda la masa en el caparazón verde se desvanece. Lo mismo puede decirse de la concha azul, el naranja la cáscara, y así ad infinitum.

De ahí mi nave espacial debe iniciar la aceleración hacia ×. Por la elección de la esfera lo suficientemente grande, yo debería ser capaz de hacer es acelerar arbitrariamente rápido, y por la elección de la ubicación de × puedo hacer es acelerar en cualquier dirección.

Por supuesto, esto no funciona, pero ¿por qué?

Mi mejor conjetura es que, incluso en un universo infinito, no se puede mantener la adición de esferas porque vas a salir de la observables del universo, en el que caso de que no haya manera de sentir la gravedad en la parte de la concha, de modo que ya no es simétrica. Quizás también la expansión del universo la materia. Pero ver los últimos dos puntos por debajo.

Un par de cosas más a tener en cuenta:

• La masa de la esfera roja aumenta con el elegido radius $r$ como $r^3$, mientras que la aceleración se genera es proporcional a $r^{-2}$; por lo tanto la aceleración se incrementa linealmente con el escogido $r$.

• Nuestro universo - el "Universo" - tiene una densidad promedio de algunos $10^{-29}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Por tanto, si puedo configurar el $r$ igual al radio del Universo observable (46.3 mil millones de años-luz), la aceleración es una minúscula $10^{-7}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2}$. Si eso le molesta, elegir a otro universo donde la $\rho$ es de diez órdenes de magnitud mayor.

• Nuestro Universo no es muy homogénea, pero lo suficientemente grandes escalas ($\gtrsim$ la mitad de mil millones de años-luz) parece ser que es. Aún así, la aceleración de la nave espacial será dominado por fuentes cercanas. Si eso le molesta, elegir una lo suficientemente homogéneo universo.

• En las escalas estamos considerando, el Universo no se rige por Newton de la dinámica, pero por la relatividad general. Si eso le molesta, el uso del teorema de Birkhoff lugar, creo que el problema es el mismo.

• Si el problema es realmente de que el tamaño del universo observable asuntos, entonces mi intuición me dice que solo puedo elegir arbitrariamente un viejo universo donde la asimetría de la contribución de la más distante de las conchas arbitrariamente pequeño.

• Si el problema es que el universo se expande (de forma que la gravedad desde el otro lado de la shell es que de alguna manera se han debilitado o "corrida hacia el rojo"), entonces mi intuición me dice que solo puedo elegir una lo suficientemente universo estático.

Answer 1

El problema radica en las condiciones de frontera. Ignorando los factores de $G$ e $\pi$, gauss la ley de la gravitación se relaciona el potencial gravitacional $\Phi$ a la densidad de la masa $\rho$por $$\rho=-\nabla^2 \Phi. $$ Con el fin de tener un único y bien definido de la solución, es necesario especificar las condiciones de contorno para $\Phi$. Generalmente, se asume que $\rho$ muere lo suficientemente rápido en espacial infinito que una elección razonable de la condición de frontera es $\Phi(|\vec x|\to\infty)=0$ es. El shell teorema se basa en este supuesto. Sin embargo, en su ejemplo, $\rho$ no morir en el infinito y en lugar distinto de cero en todas partes y por lo tanto el shell teorema de falla.

A menudo, cuando un determinado escenario en física no, pero casi, satisface el 'si' parte de un teorema, puede ser útil para probar y modificar el problema, por lo que hace. Por lo tanto, podemos usar una función de ventana $W_\epsilon(x-x_0)$ que muere rápidamente como $x\to\infty$ pero $\lim_{\epsilon\to0} W_\epsilon =1$ a regular la densidad de carga. [por ejemplo, $W_\epsilon(x-x_0)=e^{-\epsilon (\vec x-\vec x_0)^2}$.] Entonces podemos reemplazar su uniforme de la densidad de carga $\rho$por $$\rho\to\rho_{\epsilon,x_0}\equiv \rho W_\epsilon(x-x_0) .$$ En este caso, el shell teorema de sí. Sin embargo, el resultado que obtenemos no es el regulador independiente, es que si vamos a resolver para $\Phi_{\epsilon,x_0}$ el uso de la distribución de carga $\rho_{\epsilon,x_0}$ y, a continuación, enviar a $\epsilon \to0$, nos encontramos con que nuestra respuesta depende todavía de la elección de $x_0$. Este es el matemáticamente rigurosa manera de ver que realmente hay una ambigüedad a la hora de aplicar el shell el teorema de tal situación!

Edit: parece que Existe cierto debate en los comentarios, como si el shell teorema debe ser probado con fuerzas o con Gauss la ley. En realidad, no importa, pero me referiré a lo que va mal si usted sólo tiene que utilizar las fuerzas. Esencialmente, las leyes de Newton sólo están garantizados para ser válida si existe una cantidad finita de materia en el universo. Claramente si no es uniforme, la densidad de masa largo de todo el espacio, entonces hay una cantidad infinita de la materia, de manera que el shell teorema de falla. El requisito de que $\rho(|\vec x|\to \infty)\to 0$ 'lo suficientemente rápido" desde arriba es más precisamente ese $\int d^3 x \rho(x) <\infty$, que es sólo la condición de que hay una cantidad finita de materia en el universo.

Answer 2

Actualizado 07.11

Podemos elegir el modelo para analizar el problema y así que vamos a elegir:

Modelo: la mecánica Newtoniana/Newtoniana de la gravedad, con el Universo lleno de uniforme de la materia densa, interactuando sólo por la gravedad (en la cosmología de este tipo, llamado "polvo de la materia"), y en el momento inicial de nuestra nave viaje de todo este asunto está en reposo.

De ahí mi nave espacial debe iniciar la aceleración hacia ×. Por la elección de la esfera lo suficientemente grande, yo debería ser capaz de hacer es acelerar arbitrariamente rápido, y por la elección de la ubicación de × puedo hacer es acelerar en cualquier dirección.

Absolutamente!

Por supuesto, esto no funciona, pero ¿por qué?.

Que hace el trabajo. Si asumimos que, inicialmente, la nave espacial fue a descansar junto con todo el universo se alcanzará el punto x en el tiempo necesario para que la nave caer en un punto de masa igual a la masa de la rosa esfera.

El problema es que en ese momento, todos de la rosa esfera también cae hacia el mismo punto, así como todos los otros colores de las esferas y el resto del universo. Si nuestro astronauta comprueba su distancia al punto × antes de que la nave espacial cae en ella se daría cuenta de que esta distancia se ha reducido, pero al mismo tiempo se comprueba que la rodea ella se daría cuenta de que la nave espacial está rodeado precisamente por las mismas partículas de materia, que cuando el viaje se inició sólo a los que están más cerca unos de otros y a la nave espacial. Esta distancia contracción es simplemente un Newtoniano versión de Big Crunch evento.

Si el universo está lleno de materia interactuando sólo por la gravedad y suponemos que la densidad de la materia estancia uniforme en todo el universo, entonces la única conclusión sería que tales universo no es estático. Tiene cualquiera (Newtoniano versión de Big Bang en su pasado o Big Crunch en su futuro (o en nuestro modelo, ya que hemos elegido momento inicial como el punto de inflexión de la expansión a la contracción, que tiene tanto).

Puede parecer que el Universo entero caer hacia nuestro punto elegido × es un absurdo, puesto que hemos elegido este punto de forma arbitraria. Pero en esta situación, no hay ninguna paradoja, la aceleración de toda la materia hacia este punto es debido al hecho de que en nuestro programa de instalación no hay "espacio absoluto", no hay ningún conjunto de fuera estacionaria observadores inerciales que nos podría dar absoluta aceleraciones, en cambio, sólo se puede elegir un punto de referencia × (o más bien especificar un observador que se encuentra en este punto y en reposo con respecto a la materia que lo rodea) y calcular la aceleración relativa hacia este punto.

Recordar, que el primer principio de la mecánica de Newton establece que cada partícula continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en una recta línea a menos que sea activado por alguna fuerza exterior. Para un sistema aislado, por ejemplo, de la colección de gravitando objetos finitos total de la misa, nos podría (al menos en principio) lugar de un observador en reposo tan lejos que podría llegar a considerarse una de inercia del objeto. Esto nos va a permitir definir un marco de referencia con respecto al cual debemos medir aceleraciones. Pero en nuestra cosmología Newtoniana importa es llenar todo el Universo, no hay un observador en el que la gravedad no es la actuación, así que no hay ningún conjunto de marcos de referencia definido por los observadores "en el infinito" sólo observadores dentro de la materia de las concentraciones que se ven afectados por las fuerzas gravitacionales.

Mientras que no hay absolutos, aceleraciones, las posiciones relativas ($\mathbf{d}_{AB}(t)= \mathbf{x}_A(t)-\mathbf{x}_B(t)$ entre los objetos $A$ e $B$ comoving con la materia del universo) tiene un significado independiente de la elección del punto de referencia. Esta relativa de las posiciones, velocidades relativas ($\dot{\mathbf{d}}_{AB}$), las aceleraciones relativas, etc. constituyen el conjunto de definido de manera inequívoca cantidades medibles dentro de nuestro universo.

a continuación, mi intuición me dice que solo puedo elegir una lo suficientemente universo estático.

Esta intuición está mal, si hay una fuerza de gravedad que podría acelerar su nave espacial hacia ×, entonces también sería actuar cerca de un asunto (les llaman partículas de polvo o planetas o las estrellas), que produce la misma aceleración, de modo que todo el universo sería caer hacia ×.

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Nota sobre la cosmología Newtoniana parece que la teoría Newtoniana de la gravitación es poco adecuadas para manejar homogénea espacialmente infinito de distribuciones de la materia. Pero uno puede intentar separar la física de la situación de las deficiencias de formalismo particular y, posiblemente, para superarlos. Como una motivación podemos observar que a lo largo de gran tamaño, distancias cosmológicas nuestro universo a un alto grado de precisión podría ser considerado espacialmente plano, y las velocidades de las más masivas de los objetos con relación a cada uno de los otros y a la estructura de la CMB son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, lo que significa que Newtoniano aproximación puede ser apropiado. Mientras que sabemos que la relatividad general proporciona una mejor descripción de la gravitación de Newton, la gravedad es computacionalmente y conceptualmente mucho más simple. Esto parece sugerir que vale la pena para "arreglar" a cualesquiera de los problemas que uno se encuentra al intentar formalizar cosmológico soluciones de Newtoniana de la gravedad.

La mayoría de enfoque natural es "geometrize" Newtoniano de la gravedad y en lugar de "fuerza" considerar que una parte de la geometría, la dinámica de relación que representa la gravedad y la inercia. Esto se realiza en el marco de Newton–Cartan teoría.

Como una referencia más detallada, con un énfasis en la cosmología, consulte este documento (conocimiento de la teoría general de la relatividad es necesario):

• Rüede, C., & Straumann, N. (1996). En Newton-Cartan de la cosmología. arXiv:gr-qc/9604054.

Newton–Cartan teoría pone de relieve similitudes conceptuales entre Newtoniana de la gravedad y la relatividad general, con Galilei grupo en sustitución de la de Lorentz grupo de GR. El enfoque general es coordinar libre y está estrechamente relacionado con la maquinaria de la relatividad general, pero una elección concreta de los locales Galilei coordenadas produciría la costumbre ecuaciones para aceleración ($\mathop{\mathrm{div}} \mathbf{g} = - 4\pi \rho$), con aceleración de la gravedad que ahora forma parte de Newtoniana de la conexión. Homogénea e isotrópica cosmológico soluciones son sencillas ascensores de FLRW cosmologías.

Mientras que las ecuaciones son las mismas, ya se puede responder a algunas cuestiones conceptuales.

1. Puesto que la aceleración gravitacional es parte de la conexión, no hay ninguna razón para esperar que sea un "absoluto" objeto, no sería indicador de las transformaciones que alteraría. Podemos tener múltiples gráficos en los que se define la física con la que normalmente se define mapas de transición entre.

2. Podemos tener un cerrado FRW la cosmología, el "espacio" no tiene que ser un espacio Euclidiano, podría ser torus $T_3$ (ecuaciones de campo requieren de que a nivel local el espacio es plano). Dado que el volumen espacial de un universo cerrado, varía, y tienden a cero a medida que el universo se aproxima al Big Crunch, este afirma que no sólo la materia, sino el espacio mismo se contrae durante el Big Crunch (para responder a uno de los comentarios).

3. Es muy sencillo incluir la constante cosmológica / energía oscura, haciendo que los modelos más realistas.

Nota sobre la respuesta de la user105620: Si se formula un procedimiento de regularización mediante la introducción de una función de ventana $W(\epsilon,x_0)$ que tendría el potencial de que se porten bien. Esto nos proporciona una otra manera de "arreglar" los problemas de nuestro modelo cosmológico. La aceleración de nuestra nave calculadas con esta regularización es, de hecho, depende de la elección de $x_0$ en el límite de $\epsilon\to 0$, que es la consecuencia de la misma libertad en la elección del punto de referencia ×. Pero él/ella no debe haber dejado allí. Las divergencias que se requiere el uso de reguladores y ambigüedades restante después de regularización son muy características normales en el desarrollo de modelos físicos. El siguiente paso sería la identificación de las personas significativas cantidades y la comprobación de que aquellos que son independientes del regulador de artefactos. En nuestro caso, ninguno de potencial $\Phi$ ni la aceleración gravitacional $\mathbf{g}$ son directamente observables en este modelo. Posiciones relativas, en relación velocidades y aceleraciones relativas son observables y aquellos que están recurriendo a ser independiente del regulador parámetro $x_0$.

Answer 3

por la elección de la ubicación de × puedo hacer es acelerar en cualquier dirección.

Esta libertad de elección es la clave para el rompecabezas. Voy a asumir Newtoniana de la gravedad en un universo estático lleno de una homogénea de polvo.

Deje que el barco en el origen. La nave se siente una fuerza proporcional a $x$ hacia el centro de la esfera de radio $x$ centrado en $\pmb{x}$, pero también se siente el opuesto exacto de la fuerza hacia el centro de la idénticos, pero distinto de la esfera centrada en $\pmb{-x}$, por lo que estas dos fuerzas se anulan exactamente. En cada caso, sólo estoy considerando la masa dentro de la pelota y haciendo caso omiso de la misa fuera de ella, por el shell teorema.

La misma lógica se aplica a cualquier arbitrario $\pmb{x}$.

Answer 4

Me gustaría abordar, de manera rigurosa, lo que está pasando matemáticamente que conduce a esta aparente contradicción. Newton shell del teorema, como demostrado por Newton, es una declaración sobre el campo gravitacional, como se define en la ley de Newton de la gravitación universal,

$$\mathbf{g}(\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^3}\rho(\vec x') \frac{(\vec x'-\vec x)}{|\vec x'-\vec x|^3} d^3x'. \tag{1}$$ Donde $\rho: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_+$ es la masa de función de densidad, que nos llevará a ser constante. Si esta fórmula es formalmente lo que uno quiere llamar Newtoniana de la Gravedad o no, aquí es donde nuestro contradicción debe mentir. Por definición, la fórmula anterior implica que el $i$th componente $\mathbf{g}_i(\vec x)$ del campo gravitacional es $$\mathbf{g}_i(\vec x) = \rho \int_{\mathbb{R}^3} \frac{x_i'-x_i}{|\vec x'-\vec x|^3} d^3x',$$ y ahora nuestra integrando es simplemente un valor real de la función, una situación con la que nos sentimos cómodos. Sin embargo, el problema fundamental con esta expresión es que, a pesar de que parece que se nos puede llamar al cero por simetría, el integrando no es integrable en el Lebesgue o impropia de Riemann tiene sentido, porque no es absolutamente integrable, es decir, $$\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|x_i'-x_i|}{|\vec x'-\vec x|^3} d^3x' = \infty$$ en el Legesgue sentido. Aquí viene lo bueno: porque nuestra integrando no es integrable, no podemos esperar que los teoremas que indica la consistencia en virtud del cambio de coordenadas y pasando a las integrales iteradas a aplicar. Pero este es precisamente nuestro problema: cada vez que se aplique el shell teorema acerca de una elección diferente de centro, va a invocar un cambio a un sistema particular de coordenadas esféricas y de computación la expresión resultante a través de una integral iterada (uno debe, como el de Newton shell teorema se aplica a un "infinitamente" delgada cáscara esférica). Debido a la anterior cuestión técnica, los valores obtenidos en cada caso no necesita ser consistente con los demás.

Como se discutió por user105620, diferentes tipos de problemas que surgen en la formulación de Newton de la gravedad a través de un potencial, en $\mathbf{g}$ está determinado por las condiciones de $\vec \nabla \cdot \mathbf{g} = \rho$, $\vec \nabla \times \mathbf{g} = 0$, y una condición de frontera en $\mathbf{g}$. Si $\rho$ no decae suficientemente rápido (como en la hipótesis de que el resultado vinculado), esta formulación no es, en general, bien planteado, es decir, un $\mathbf{g}$ puede no existir (aunque, si lo hace, es probablemente única, dependiendo de la condición de contorno).

La existencia de lado, el shell teorema en este caso, comprobado por el teorema de la divergencia, depende de ser capaz de asumir la simetría esférica de $\mathbf{g}$ de la de $\rho$. Uno puede fácilmente demostrar que esto funciona bien para el caso estándar de $\rho$ descomposición suficientemente rápido con la condición de contorno $\mathbf{g} \to 0$ al infinito, pero no está claro en absoluto cómo prescribir una físicamente razonable de la condición de límite que asegura que es permitido de otra manera. De hecho, para la constante de $\rho$ caso $\mathbf{g}(\vec x) = \frac{\rho}{3} (\vec x - \vec x_0)$ satisface la PDE condiciones para cualquier $\vec x_0$, pero estas soluciones no difieren por una constante, por lo que el vinculado singularidad declaración anterior implica que todos los tipos estándar de condiciones de contorno (Dirichlet, Neumann, y mixta) sólo se puede seleccionar uno de estos. Es decir, en el potencial Newtoniano de la gravedad, opciones estándar de condiciones de contorno no de forma genérica nos permiten asumir la simetría esférica de $\mathbf{g}$ de la de $\rho$ cuando $\rho$ no decae, y por lo tanto el shell teorema generalmente falla en este caso.

En última instancia, entonces, su contradicción viene abajo esta: teniendo en cuenta los dos más básicos de las teorías de Newton de la gravedad que incluyen, naturalmente, el shell teorema, resulta que una teoría, simplemente no tiene sentido matemático en el que no decae $\rho$ de casos, mientras que la otra teoría de la cáscara teorema necesariamente se descompone en el que no decae $\rho$ caso.

Answer 5

De una forma muy rápida descremada parece que las respuestas son excelentes, así que en lugar de contribuir con algunas de la física y la filosofía de la literatura. Yo también estaba preocupado por este problema después de la lectura de un determinado papel (pavo real de 2001, por cierto), hasta que descubrí siglos de pensamiento antes de mí!

Su preocupación al parecer, fue planteada por primera vez por el Obispo Berkeley, en la discusión con el mismo Newton. Mucho más tarde Seeliger (1890) afilado y popularizó la crítica. Ver Norton (1999), "La cosmológica males de Newton, la teoría de la gravitación" para la historia. Norton también se analiza el problema análogo para la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica.

Sorprendentemente, la cosmología Newtoniana fue sólo trabajó a cabo después de que el general relativista caso, por Milne y también McCrea. Aquí particularmente me refiero a la tasa de expansión, la cual se asemeja mucho a la relativista ecuaciones de Friedmann por cierto. [Estoy asumiendo un homogénea e isotrópica universo. De lo contrario, consulte Buchert & Ehlers (1997).] Pero de nuevo su objeción fue planteada. Finalmente, Heckmann & Schucking (1955) se acreditan con la realización de la cosmología Newtoniana grandes otra vez riguroso.

Norton fue otro que de forma independiente planteó la centenaria objeciones. Malament (1995) defendió mediante la descripción de 3 formulaciones de Newtoniana de la gravedad: la $1/r^2$ de la fuerza de la ley, la ecuación de Poisson, y Newton-Cartan teoría. Norton (1995) estuvo de acuerdo, sin embargo, añadió que la aceleración se vuelve relativo! Tipler (1996a, 1996b) tiene buena papeles al mismo tiempo. Wallace (2017) se ve interesante, tal como el título de la sección "2. No unicidad de las soluciones a la ecuación de Poisson".