Una suma finita que implican $2013$

Question

Me pueden ayudar a calcular la suma de abajo? $$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2013}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot3}+\cdots+\frac{1}{2012\cdot 2013}+\cdots+\frac{1}{1\cdot2\cdots2013}$$

Answer 1

Sugerencia:

Considere el polinomio $f(x)=\left(x+1\right)\left(x+\dfrac12\right)\ldots\left(x+\dfrac{1}{2013}\right)$.
La suma que se busca es $f(1)-1$.

Answer 2

He aquí cómo funciona para $n=3$.

Encontrar un común denominador:

$$\begin{align} 1 + S &= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3}\\ &=\frac{1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3 + 1\cdot3 + 1\cdot2 + 3 + 2 + 1 + 1}{1\cdot2\cdot3}\\ &= \frac{(1+1)(1+2)(1+3)}{1\cdot2\cdot3}\\ &= \frac{2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3}\\ &= 4 \end{align}$$ Por eso, $S = 3$.

Generalmente, $(1 + S)n! = (x + 1)(x + 2) \cdots (x + n)\big|_{x=1} = (n + 1)!$, lo que da $S = n$.