Cuando la fuerza centrípeta sobre un cuerpo en órbita desaparece (p. Ej., Si el cuerpo es una bola y la fuerza fue ejercida por una cuerda y la cuerda se rompe, o, más irrealmente, si el cuerpo es la tierra y el sol desapareció repentinamente), El cuerpo continúa en movimiento lineal. ¿Cómo se conserva el momento angular aquí?
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Si el Sol fuera a desaparecer por arte de magia, a continuación, la Tierra volaba en una tangente a su órbita. La trayectoria tendría este aspecto:
El punto verde indica la posición de la Tierra en el instante en que el Sol desaparece. La distancia desde el Sol, $d$, es la Tierra de la órbita de la distancia y de la velocidad de la $v$ es la velocidad orbital de la Tierra.
Cuando el Sol desaparece de la Tierra se dirige en línea recta a velocidad constante, como se muestra por la línea punteada horizontal, así que después de algún tiempo $t$ se ha movido una distancia $x = vt$ como he marcado en el diagrama. La pregunta ahora es cómo el momento angular puede ser conservada.
La respuesta es que el momento angular está dada por la ecuación vectorial:
$$ \mathbf L = \mathbf r \times m\mathbf v $$
donde $\mathbf r$ es el vector de posición, $\mathbf v$ es el vector de velocidad y $\times$ es el producto cruzado. Vamos a terminar con el vector $\mathbf L$ que apunta hacia fuera de la página y la magnitud de $L$ está dada por:
$$ |\mathbf L| = m\,|\mathbf r|\,|\mathbf v|\,\sin\theta \tag{1} $$
pero buscando en nuestro diagrama vemos que:
$$ \sin\theta = \frac{d}{|\mathbf r|} $$
y si sustituimos esto en la ecuación (1) para que el momento angular se obtiene:
$$ |\mathbf L| = m\,|\mathbf r|\,|\mathbf v|\,\frac{d}{|\mathbf r|} = m\,|\mathbf v|\,d \tag{2} $$
Esta ecuación nos dice que el momento angular es constante, es decir, sólo depende de la constante de velocidad de la $\mathbf v$ y el original de la distancia orbital $d$.
Aunque en un principio parece extraño que un objeto no tiene que estar en movimiento en un círculo para tener un constante impulso angular. De hecho, para cualquier sistema, el momento angular es siempre constante a menos que algún par externo es el que actúa sobre el sistema.
Mark H
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Volver a las 0:46 en el vídeo para ver cómo momentum angular se calcula. $$L = mrv_{rot}$$ donde $L$ es el momento angular, $m$ es la masa del objeto, $r$ es la distancia del objeto desde el centro de rotación, y $v_{rot}$ es la velocidad de movimiento a lo largo del círculo centrado en el centro de giro con un radio igual a $r$. Generalmente, el momento angular es más útil emplear cuando los objetos están sometidos a movimiento circular debido a que el cálculo es más fácil--$m$, $r$, e $v_{rot}$ son constantes, lo que significa que $L$ es constante.
Sin embargo, no es sólo el movimiento circular que puede ser útil el uso de momentum angular. Un planeta que gira alrededor de una estrella en una órbita elíptica, y, sin embargo, el momento angular es constante. Puesto que la masa de un planeta en gran medida no cambia, podemos concluir que la velocidad del planeta ($v_{rot}$) es grande cuando está cerca de la estrella ($r$ es pequeña) y viceversa. En este sistema, el centro de rotación de la estrella que no es el centro geométrico de la órbita (el centro de la elipse).
Podemos ir más allá y decir que el momento angular puede ser calculado con respecto a cualquier punto en el espacio, es decir, el punto que llamamos el "centro de rotación" es sólo una etiqueta que se puede poner en cualquier lugar. No tiene que ser algo importante en el centro de la rotación. Cierto, para la mayoría de los problemas, poniendo el centro de rotación en el centro del movimiento circular es la cosa correcta a hacer para los efectos de cálculo, ya que hará que la calcula el momento angular constante. [1] en el video En 1:56, después de que el sol desaparece, el momento angular de la Tierra es calculado con respecto al mismo punto: donde el sol solía ser. Así, $m$, $r$, e $v_{rot}$ son todos el mismo, y por lo tanto $L$ es el mismo. Como la Tierra se mueve en una línea recta, la distancia al punto ($r$) aumenta y la velocidad en la dirección de lo que sería el movimiento circular ($v_{rot}$) disminuye. Este descenso se produce porque el movimiento necesario para el movimiento circular en una dirección diferente a la del planeta de movimiento, por lo menos de la Tierra a la velocidad de la cuenta para $v_{rot}$. [2] Los cambios en $r$ e $v_{rot}$ cancelar a la otra, dejando un constante impulso angular.
[1] Algo más técnico de lado: el momento angular es constante si la dirección de la suma total de la fuerza sobre un objeto es paralela a la línea que une el objeto y el designado centro de rotación. Tenga en cuenta que la fuerza gravitacional entre un planeta y la estrella que orbita alrededor satisfaga esta restricción. Lo hace de un objeto con un total de cero la fuerza en él, ya que el vector cero es paralela a cada vector.
[2] Para un simple ejemplo de esto: si estoy conduciendo en mi coche en dirección norte-este, sólo una parte de mi velocidad del coche se me llevaban hacia el norte. Si me novillo a la derecha para ir a la más oriental de dirección, manteniendo la misma velocidad, entonces menos de mi velocidad en la dirección norte, por lo que no voy a hacer como mucho se avanza hacia el norte en comparación con mi anterior dirección.
Azzinoth
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El momento Angular se mide en relación a algunos de origen. De modo que el momento angular de un sistema es diferente para los distintos marcos de referencia. Sin embargo, para un sistema cerrado en un determinado marco de referencia el momento angular total del sistema es constante en el tiempo.
Si queremos configurar nuestro origen en el centro de rotación, el momento angular de la órbita del cuerpo es $$L=mr_0v$$ donde $r_0$ es la distancia entre el cuerpo y el centro de rotación.
Después de la fuerza desaparece, el cuerpo continúa moviéndose a lo largo de una línea recta tangetially a su antigua órbita. Es la trayectoria puede ser dada por $$\vec{r}(t)=\begin{pmatrix} -vt \\ r_0 \end{pmatrix} $$ y el momento angular es $$L=m \;\vec{r}\times \vec{v}=m\begin{pmatrix} -vt \\ r_0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -v \\ 0 \end{pmatrix}=mr_0v$$ Como se puede ver, el momento angular se conserva.
Sin embargo al hacer esto, el tratamiento de la fuerza centrípeta en el cuerpo como una fuerza externa (estamos descuidando la fuerza de reacción de newton tercera ley en otro objeto). Desde el momento angular es sólo se conserva para los sistemas cerrados, el momento angular no se conserva, en general, en esta aproximación. Esta aproximación sólo funciona ya que hemos elegido nuestro origen, tales que el vector de posición $\vec{r}$ es siempre paralelo a la fuerza de $\vec{F}$ sobre el cuerpo y por lo tanto la fuerza no produce torsión $\vec{r}\times\vec{F}$, de tal manera que el momento angular es de nuevo conservadas. Si hemos de elegir cualquier otro origen, no funcionaría.
Si no hacemos tal asunción y calcular el momento angular de dos objetos que orbitan en un sistema cerrado (como la tierra y el sol), podemos elegir cualquier origen que queramos y el momento angular se conserva siempre.
