¿Cuál fue la definición de "conjunto" que resultó en la paradoja de Russell?

Question

La paradoja de Russell , el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se puede dividir en dos afirmaciones:

Una cosa que contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.

Esta cosa / una cosa tal necesariamente calificaría como un conjunto.

Ahora, ¿cuál fue la definición de conjunto que Russell adoptó según el mandato de la segunda declaración?

Answer 1

El axioma de que dijo a Russell que él podría considerar la posibilidad de que un conjunto se llama la comprensión axioma que dice que para cualquier propiedad $P$, hay un conjunto $X_P$ tales que $$ x\in X_P\iff P(x).$$ (We usually write $X_P$ using comprehension notation: $X_P=\{x:P(x)\}$).

El otro axioma importante aquí es extensionality, que dice que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos: esto nos dice que la condición anterior es una definición válida de $X_P.$

Russell aplica el axioma de comprensión a la propiedad $P(x)=x\notin x$ y, a continuación, derivados de su contradicción que $$ X_P\in X_P\iff X_P\notin X_P.$$

La lección que hemos aprendido de esto es que la comprensión axioma es inconsistente. Así que no hacemos uso de ella, en la teoría de conjuntos axiomática. En su lugar usamos versiones más débiles, más comúnmente la separación de axiomas de ZF que dice que para cualquier conjunto $A$ y la propiedad $P$ que $ \{x\in A:P(x)\}$ es un conjunto.

La razón por la que Russell pensó que él podría usar el axioma de comprensión es porque parecía ingenuamente cierto, había sido utilizado implícitamente antes en matemáticas sin problemas, e incluso había sido señalado como formal axioma por Frege. Su descubrimiento de que esta aparentemente inocua poco de razonamiento matemático llevado directamente a una contradicción evidente llevado a una gran cantidad de preocuparse acerca de las bases formales de la matemática en las siguientes décadas, y muchas cosas interesantes fueron descubiertos por los lógicos, tratando de interrogar exactamente por qué la comprensión de error y cómo evitar problemas similares.

Answer 2

Russell comenzó a partir de la muy trivial axiomatisation de Frege de que el concepto de conjunto. Sólo se compone de dos axiomas: uno es el estensionality axioma y el otro es el axioma de comprensión. El punto es este axiomatisaton parece muy simple y, al mismo tiempo, potente y parece que ha captado la verdadera esencia del conjunto. De hecho, la comprensión axioma (a menudo llamado "sin restricciones")

Si $\mathcal P$ es una propiedad, entonces existe un conjunto $A$ tal que $$\forall x \big( x \in A \Leftrightarrow \mathcal P(x)\big)$$

expresa nada más que nuestra natural (casi genética) hábito para construir cualquier conjunto dando una propiedad para satisfacer. Los matemáticos antes de Russell usos que axiomatization antes de Frege lo escribió, pero lo hizo de forma tácita. Este axioma, déjenme decirles, es muy interesante: que esencialmente dice la lógica y teoría de conjuntos son las diferentes caras de la misma medalla, es decir, cada pregunta lógica puede ser traducido en términos de conjuntos y viceversa, declaraciones corresponde a los conjuntos, y establece que corresponde a las declaraciones.

Filosóficamente hablando, este axioma es demasiado potente, que se puede construir todo lo que se me ocurre pensar, es decir, el conjunto de todos los conjuntos (por lo $x \in x$?). Brevemente, voy a perder muy rápidamente el control de mis construcciones. El beso de la muerte de todos los que la matemática edificio es la Antinomia de Russell. Simplemente hay que considerar el predicado $$x \notin x\,,$$ which allows, cause the comprehension axiom, to consider the set $$R:=\{x \mid x \notin x\}$$ that has the following contradictory property $$R \in R \Leftrightarrow R \notin R\,.$$ Esta antinomia esencialmente dice que usted tiene que prestar atención porque despreocupada construcciones (como la ingenua teoría de conjuntos es) puede llevar a contradicciones y antinomias. Esta paradoja es mucho más que un sofisma o una bagatela y tiene una fuerte importancia en las Matemáticas y en la Filosofía de las Matemáticas: necesitamos algo con más restricciones, con el que se puede controlar lo que está haciendo y evitar antinomias. Estas son las razones por axiomático conjunto de teorías nacieron.

Answer 3

El orignal formulación de la "Contradicción" en el contexto de la "teoría de las clases", correspondiente (con una cierta aproximación) a Cantor original de la Mengenlehre.

Véase Russell carta a Frege (16 de junio de 1902) :

Deje $w$ ser el predicado: para ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo. Puede $w$ se predica de sí mismo? De cada respuesta de su opuesto de la siguiente manera. Por lo tanto, debemos concluir que los $w$ no es un predicado. Asimismo, no hay ninguna clase (como una totalidad) de las clases, en las cuales, tomadas como una totalidad, no se pertenecen a sí mismos. A partir de esto llego a la conclusión de que, bajo ciertas circunstancias definible colección [Menge] no forma una totalidad. [...]

La anterior contradicción, cuando se expresa en Peano la ideografía, se lee como sigue:

$$w = \text {Cls} \cap x \backepsilon (x \sim ε \ x). \supset : w \ ε \ w .=. w \sim ε \ w$$

[que puede ser aproximadamente reescrito en la modernidad notación : $w = \{ x \mid x \notin x \} \Rightarrow (w \in w \leftrightarrow w \notin w)$].

Véase también Bertrand Russell, a Principios de la Matemática (1903), Capítulo 6 : Clases (página 67-a) :

§68. En el Capítulo 2 se considera como en las clases de derivados de afirmaciones, es decir, como todos los las entidades satisfacer algunas de afirmación, cuya forma fue dejado totalmente vaga. [...] por la presente, podemos limitarnos a las clases como de los que se derivan de los predicados, dejando abierta la cuestión de si cada afirmación es equivalente a una predicción.

§69. [...] es claro que cuando dos de la clase-los conceptos son iguales, algunos de identidad, por la que decimos que tienen los mismos términos. Por lo tanto hay algún objeto que está positivamente idéntico al de dos clases: los conceptos son iguales; y este objeto, al parecer, es más propiamente se llama la clase. Descuidar la arrancado de gallina, la clase de bípedos sin plumas, cada uno podría decir, es el mismo que el de la clase de los hombres; la clase de incluso de los números primos es el mismo que el de la clase de los enteros después de la próxima $1$.

§71. La clase puede definirse extensionally o intensionally. Es decir, podemos definir el tipo de objeto que es una clase, o el tipo de concepto que denota una clase: este es el significado preciso de la oposición de la extensión y la intención en esta conexión.

§73. Grandes dificultades están asociadas con el null-clase, y en general con la idea de la nada. [...] En la Lógica Simbólica null-clase es la clase que no tiene términos en todos; y simbólicamente es muy necesario introducir alguna noción.

§76. Algo debe decirse en cuanto a la relación de un término a una clase de la que es miembro, y de los diversos aliados de relaciones. Uno de los aliados de relaciones es $ε$, y es fundamental en la Lógica Simbólica.

§77. Una relación que, antes de Peano, fue casi universalmente confundirse con los de la $ε$, es la relación de inclusión entre clases, como por ejemplo, entre los hombres y los mortales.

§78. Entre los predicados, la mayoría ordinaria de los casos no puede ser predicado de sí mismos, a pesar de que, mediante la introducción de la negativa de los predicados, se encontrará que hay muchos casos de predicados que son predecibles de sí mismos. Al menos uno de estos, es decir, predicability, o la propiedad de ser un predicado, no es negativo: predicability, como es evidente, es predecible, es decir, es un predicado de la misma. Pero la mayoría de los casos comunes son negativos: por lo tanto no la humanidad es no-humanos, y así sucesivamente. Los predicados que no previsible de los mismos son, por lo tanto, sólo una selección de entre los predicados, y es natural suponer que forman una clase que tiene una definición de predicado. Pero si es así, vamos a examinar si esta definición de predicado pertenece a la clase o no [énfasis añadido].

En el Apéndice a : LA LÓGICA Y ARITMÉTICA DOCTRINAS DE FREGE, podemos encontrar la discusión de la "Contradicción" en términos de Frege del sistema formal.

En conclusión, para Russell, una clase es la extensión de un predicado.

Answer 4

La noción de conjunto es análogo a la noción de clase.

Clases (según Ernst y Nagel en referencia a la Paradoja de Russell) parecen ser de dos clases: aquellas que no se contienen a sí mismos como miembros, y aquellos que sí lo hacen. Una clase se llama "normal" si, y sólo si, no se contienen a sí mismo como un miembro; de lo contrario, va a ser llamados "no-normal".

Los autores de la Prueba de Gödel, a continuación, ir a dar un ejemplo de una clase normal---la clase de todos los matemáticos (para la clase (o agregado) sí no es un matemático). Por otro lado, una clase que contiene en sí sería, digamos, la clase de todos los pensable pensamientos---para la clase (es decir, de agregado) es un pensable pensamiento y por lo tanto un miembro de su propia clase.