Vamos
$$
F(m) \equiv \left| \sum_{n=1}^{m}\sqrt{n} - \left[ \sum_{n=1}^{m}\sqrt{n} \right] \right|
$$
donde $[x]$ denota el entero más cercano a $x$. Un pequeño valor de $F(m)$ indica que la suma de los primeros $m$ raíces cuadradas es cerca de un entero.
Lo que realmente estás buscando es la secuencia de $m_i$ donde $m_i$ es monótona creciente con $i$ y para cada una de las $m_i$
$$
k < m_i \Longrightarrow F(k) > F(m_i)
$$
Es decir, la secuencia de "más cercano a un entero sin embargo," los valores de $m$.
La forma más fácil de ver el inicio de esta secuencia es de notar que la forma asintótica de
$\sum_1^m\sqrt{n}$ es
$$
\sum_1^m\sqrt{n}\approx \frac1{\sqrt{n}}\left(\frac{2n^2}{3}+\frac{n}2 +\zeta(-\frac12) \sqrt{n}+\frac1{24}-\frac1{1920 n^2}+ \frac1{9216 n^4}-\frac{11}{163840 n^6}+\frac{65}{786432 n^8}\right)
$$
A continuación, en Mathematica que gan definir $F[m]$ ya que la expresión, $G[m]$ como el Abs$[F[m]-$Ronda de$[F[m]]$ y hacer una serie de DiscretePlot de $G[m]$ ver donde conseguir nuevos mínimos.
Cuando usted hace esto para a $m=10^6$ usted encontrar la secuencia de $m_i$ es
$$
\{ 3, 13, 22, 33, 38, 41, 54, 156, 761, 10869, 41085, 142625, 224015, 898612\ldots\}
$$
Así, por ejemplo, cuando se $n=500$ el mejor valor de $m$ se $156$, punto en el cual
$$
\sum_1^{156}\sqrt{n}\approx 1305.0000314264
$$
La secuencia de $m_i$ no en OEIS.
El siguiente número en la secuencia es $2750788$ y
$$
\sum_1^{2750788}\sqrt{n}\approx 3041547064.000000030776
$$
Que la cercanía ($3\cdot 10^{-8}$) es una mejora importante respecto a su predecesor, que está fuera por un poco más de una parte en un millón.
