¿Tirar un centavo a un tren lo detiene?

Question

Si me pongo delante de un tren y le lanzo un céntimo, el céntimo rebotará hacia mí.

Para que el penique invierta su dirección, en algún momento su velocidad debe ser cero. Este es el punto en el que choca con el tren. Dos objetos en contacto tienen la misma velocidad, por lo que el tren debe detenerse para que la moneda cambie de dirección.

Supongo que estoy entendiendo mal algunos principios. ¿Se debe a que he supuesto un cuerpo perfectamente rígido, cuando en la práctica el tren se deforma muy ligeramente?

Answer 1

Si asumes cuerpos rígidos (sin deformación) entonces en realidad la moneda nunca necesita tener velocidad cero ya que puede cambiar instantáneamente de forma directa. Sin embargo, en la realidad, el centro de masa debe pasar por la velocidad cero (en su marco de referencia). Sin embargo, esto no significa que el tren se detenga. Disminuirá ligeramente su velocidad debido al cambio de momento de las monedas, pero será inconmensurablemente pequeño.

Lo que ocurrirá es que el punto de contacto se detendrá (más o menos, véase más abajo), y el tiempo que estará detenido (o casi) será minúsculo debido a lo ligera que es la moneda (se puede jugar al mismo juego con una mosca). Esto dejará una pequeña abolladura en la parte delantera del tren, pero en realidad la mayor parte de esa abolladura rebotará debido a la flexibilidad del metal. En el caso de una moneda es probable que quede una abolladura, pero en el caso de una mosca no habrá ningún daño duradero en el metal y el único efecto de la abolladura inicial habrá sido un pequeño sonido (y una mosca plana).

Ahora, veamos el problema a menor escala. En el caso de los cuerpos rígidos, suponemos que la materia es continua y que tocarse significa realmente tocarse. Sin embargo, la realidad es diferente y la materia está hecha de átomos y tocar significa repulsión electrostática. Esto significa que el tren aplicará una fuerza a la moneda (y viceversa) cuando los átomos no se toquen. Los átomos del tren nunca tienen que detenerse realmente. Por lo demás, los mismos argumentos básicos siguen siendo válidos y para un tren suficientemente rápido, una moneda dejará una mella. Sin embargo, si hablamos de trenes y monedas a nivel atómico, nuestro modelo se ha complicado demasiado...

Ejercicio: se podría intentar calcular el impulso (fuerza integrada) o incluso el pico de fuerza sobre la moneda debido al frente metálico del tren. Tendrás que estimar la velocidad del tren, la masa de la moneda y la profundidad de la hendidura en el frente del tren. Supongo que, incluso para una moneda, la fuerza máxima será bastante elevada.

Answer 2

¿Qué cambia la velocidad de un objeto? La fuerza, por supuesto. (La aceleración es el cambio de velocidad). La cuestión es ¿cuánto tiempo se necesita para que se produzca ese cambio? ¿Mucho tiempo? ¿Un tiempo infinitamente pequeño? ¿Momentáneamente? Bueno, ¡depende de la propia aceleración! Si aceleras en tu coche, tardarás un tiempo considerable en pasar de $0$ a $100\ \mathrm{km/h}$ .

Pero, ¿qué pasa con el centavo y el tren? Bueno, si se tiene en cuenta el momento de la colisión en sí, se puede responder a la pregunta. En el mundo real, la parte delantera del tren se deformará ligeramente, por lo que no se trata de un cuerpo rígido perfecto. Sí, esa parte del tren (donde se produce la colisión) se detiene momentáneamente al rebotar el centavo en la parte trasera, sin embargo, otras partes del tren mantendrán su movimiento sin preocuparse por esa parte, de ahí que se produzca la deformación (y no, el tren no se detiene por completo, sólo se detiene el punto de contacto por un momento). Es completamente intuitivo imaginar que al reducirse el tiempo de colisión, la deformación del tren también disminuye. ¿Significa eso que si el tren fuera un cuerpo rígido perfecto se detendría por completo al producirse la colisión? (porque la deformación no es posible para los cuerpos rígidos) ¡No! Es porque el tiempo de colisión para los cuerpos rígidos es "cero". El penique y el tren cambiarán su velocidad instantáneamente en ese caso sin pasar de la velocidad cero.

Matemáticamente, la fuerza ejercida por un cuerpo rígido en colisión es la función delta de Dirac $F=A\,\delta (t)$ . Es cero en todas partes excepto en $t=0$ (tiempo de colisión) donde se convierte en infinito. En $F=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}$ podemos ver que $$\int F\,\mathrm dt=\Delta P$$ Si suponemos que la duración de la colisión es distinta de cero, (es decir, que hay una cantidad infinita de fuerza durante un tiempo considerable) $\Delta P$ se convertirá en infinito, lo cual es claramente erróneo. Por lo tanto, ni el centavo ni el tren se detendrán ni siquiera por un momento (como $10^{-10}\ \mathrm s$ ), sólo pueden cambiar su velocidad inmediatamente.

Answer 3

Creo que esta es una gran pregunta. No estoy 100% seguro de que sea una respuesta completamente correcta, pero al menos estoy bastante más del 50% seguro.

Aquí están las trayectorias del centavo (en verde) y del tren (en rojo):

Primera observación: El centavo podría no tener nunca la velocidad cero; en el momento $T$ puede saltar discontinuamente de una velocidad positiva a una negativa.

Segunda y más importante observación: No tiene sentido hablar de la "velocidad del punto de contacto" porque el punto de contacto sólo existe durante un instante. Para definir la velocidad en ese instante, tendríamos que conocer la ubicación del punto de contacto en algún intervalo de tiempo alrededor de $T$ y no existe tal ubicación.

Esto ignora la (muy leve) desviación del tren de un curso recto de línea roja y también ignora todo lo relacionado con la deformación del material, todo lo cual es cierto pero nada de lo cual (creo) es necesario, porque (entre otras cosas) esta imagen parece responder a la pregunta incluso en un caso teórico donde no hay deformación.

Editado para añadir: Vale la pena señalar que la línea de mundo del centavo no puede ser diferenciable. Si fuera diferenciable, sería tangente a la línea del mundo del tren en el punto de colisión, lo que significa que el penique y el tren compartirían una velocidad bien definida en ese punto. Además, esa velocidad tendría que ser negativa, porque la velocidad del tren es siempre negativa. Esto significaría que el penique habría dado la vuelta (es decir, habría alcanzado una velocidad cero) antes de el momento del impacto, lo que requiere creer que vio venir el tren y trató de retirarse. Espero que estemos de acuerdo en descartar eso.

Por lo tanto, la imagen anterior no es sólo una posibilidad; es la sólo posibilidad (suponiendo cuerpos rígidos, por supuesto).

Answer 4

Parece que hay un agujero en tu razonamiento. Si he entendido bien, estás diciendo lo siguiente:

1. En algún momento, la velocidad de la moneda debe ser cero.
2. En algún momento, la velocidad de la moneda debe ser igual a la del tren.
3. Por lo tanto, en algún momento, la velocidad del tren debe ser cero.

Tanto 1 como 2 son ciertos (suponiendo que la colisión sea exactamente frontal). Pero la 3 no se deduce, porque 1 y 2 ocurren en momentos diferentes. En concreto, 1 ocurre antes que 2.

Los dos sucesos ocurren durante la colisión, por lo que se producen con un intervalo de tiempo extremadamente corto entre ellos; pero aun así, ocurren en momentos diferentes.

Answer 5

Dos objetos en contacto tienen la misma velocidad

No, no siempre. Coge dos bolas y haz que una ruede más rápido que la otra y haz que choquen. Chocan con velocidades diferentes.

Pero, en tu caso, si la moneda choca con el tren y ejerce una fuerza capaz de acelerarlo en sentido contrario a su movimiento hasta que su velocidad sea nula, entonces sí, la moneda detendrá el tren.